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Université Paris XI Math 202 2014/2015 Algèbre linéaire, réduction Olivier Fouq

Université Paris XI Math 202 2014/2015 Algèbre linéaire, réduction Olivier Fouquet Un ingénieur vient écouter son meilleur ami, un mathématicien, donner une confé- rence sur les propriétés géométriques des espaces de dimension 23. A plusieurs re- prises, l’orateur justiﬁe l’une des ses assertions en mentionnant que “on voit bien que...” ou alors “qu’il est visuellement évident que...” A la ﬁn de l’exposé, l’ingé- nieur demande à son ami comment il réussit à visualiser un espace de dimension 23. “C’est facile” lui répond ce dernier “je visualise en dimension n et ensuite je prends n = 23”. 1 Table des matières 1 Bases de l’algèbre linéaire 4 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Motivation et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Déﬁnitions formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1 Déﬁnition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.1 Interprétation linéaire des systèmes d’équations . . . . . . . . 17 1.3.2 Exemples de résolutions pratique de systèmes d’équations li- néaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.3 Un problème mystérieux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Réduction des endomorphismes 23 2.1 Sous-espaces stables, sous-espaces propres . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Familles de vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.3 Lien avec les matrices triangulaires supérieures . . . . . . . . . 25 2.2 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Révision sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Polynômes d’endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3 Réduction des endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Motivation et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.2 Coeur et nilespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.3 Espaces propres généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3.4 Polynôme caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.3.5 Réduction des endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . 37 2.3.6 Réduction des endomorphismes nilpotents . . . . . . . . . . . 38 2.3.7 Réduction des endomorphismes de C2 . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.8 Théorème de réduction de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.9 Trace et déterminant d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . 43 2.3.10 Réduction des endomorphismes rationnels ou réels . . . . . . . 45 3 Déterminants 45 3.1 Formes linéaires, multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.2 Formes bilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2 3.1.3 Formes multilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.1 Déterminant d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.2 Propriétés fondamentales du déterminant . . . . . . . . . . . . 51 3.2.3 Développement en ligne et en colonne . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 Lien avec l’inversion et les systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Lien avec la réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 Espaces vectoriels euclidiens 58 4.1 Déﬁnitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.1.2 L’inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1.3 Bases orthogonales, orthonormalisation . . . . . . . . . . . . . 60 4.1.4 Orthogonal, supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . 62 4.2 Endomorphisme adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2.2 Matrice adjointe, matrice orthogonale . . . . . . . . . . . . . . 66 4.3 Réduction des endomorphismes auto-adjoints . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.1 Valeur propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3.2 Réduction des endomorphismes auto-adjoints . . . . . . . . . 68 5 Réduction de quelques endomorphismes importants 69 5.1 Projecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1.1 Déﬁnition et réduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.1.2 Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s3/ algebre-lineaire-reduction-olivier-fouquet.pdf