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L'exercice qui est proposé consiste à résoudre, en appliquant la méthode des ca

L'exercice qui est proposé consiste à résoudre, en appliquant la méthode des caractéristiques, le problème de Cauchy pour une équation de transport, très proche de celle du cours, à laquelle nous avons rajouté un terme d'amortissement, c'est le terme en rouge sur l'écran. Donc bien sûr le fait que l'équation soit amortie ou pas dépendra du signe de la fonction A et un terme de source que l'on appelle grand S de t et de x. À nouveau, le fait qu'il y ait une source positive ou négative est possible. Donc comme la vitesse v est un vecteur fixe donné qui ne dépend ni du temps ni de l'espace, les courbes caractéristiques sont des droites. Donc pour un point y appartient à R N, on définit la courbe caractéristique gamma Y de t est égale à Y plus tv. Le vecteur v étant fixé, les courbes caractéristiques sont des droites. Et on définit grand F, Y de t est égale à f de t, gamma Y de t. C'est la valeur de la fonction F le long de la courbe caractéristique au temps t. La méthode des caractéristiques consiste à calculer la dérivée par rapport au temps de grand F de Y de t et de constater que on transforme une équation en dérivée partielle en petit f à une équation différentielle ordinaire en grand F ce qui permet de la résoudre plus facilement. Donc on calcule la dérivée par rapport au temps de grand F, Y de t. Il y a deux endroits où la fonction f et grand F dépend du temps et donc ça donne deux termes dans l'équation: dft plus gamma point y, scalaire gradient de f le long de la courbe caractéristique. En utilisant l'équation de petit f, ceci est égal à moins af plus la source grand S le long de la courbe caractéristique. Et finalement en utilisant que petit f le long de la courbe caractéristique est égal à grand F, nous obtenons cette formule pour la fonction grand F, y de t. Donc dans cette formule, la fonction petit a est donnée, la fonction grand S est donnée. Toutes les fonctions ici ne dépendent que du temps puisque nous sommes sur une courbe caractéristique et donc vous voyez que c'est une équation différentielle ordinaire sur grand F, y de t. Elle est facile à résoudre. Une façon de faire, c'est celle que je choisis maintenant, c'est d'utiliser la méthode du facteur intégrant. Donc je multiplie par l'exponentielle d'une primitive de petit a pour simplifier l'équation. On obtient la formule suivante, d sur dt de l'exponentielle de l'intégrale de zéro à t de a au point s, gamma y de s, ds multipliée par grand F, y de t. Donc cette dérivée est égale à l'exponentielle de l'intégrale de zéro à t de a de s, gamma y de s, ds multipliée par le terme source, grand S. Donc une fois écrit sous cette forme, il est facile d'intégrer entre le temps zéro et le temps t pour obtenir la formule suivante, exponentielle de l'intégrale de zéro à t de a de s, gamma y de s, ds multipliée par F y de t est égale à Fy de zéro, alors ça c'est relié à la donnée initiale sur la fonction F, plus l'intégrale du terme source qui s'écrit de la façon suivante: Maintenant il nous reste à multiplier à nouveau par le facteur intégrant pour obtenir l'expression de grand Fy de t. Pour le premier terme, il suffit de multiplier donc par l'exponentielle de moins intégrale de zéro à t de a de s, gamma de s, ds. Pour le deuxième terme, on observe que on peut rassembler les exponentielles en utilisant la propriété des exponentielles et en utilisant la relation de Chasles pour les sommes d'intégrales et on se rend compte que le terme se simplifie de la façon suivante: intégrale de zéro à t, exponentielle moins intégrale de s à t de a de s prime, gamma y de s prime, ds prime multipliée par le terme source, grand S de s, gamma y de s, ds. Donc voilà l'expression de grand F de y de t. Nous voulions l'expression de la solution. Donc il suffit de revenir dans les variables originales. Donc on pose x est égale à y plus tv. De façon équivalente, y est égale à x moins tv. Et partout où on voit y, on remplace y par la valeur x moins tv. Et partout où on voit gamma y de s, on le remplace par son expression qui est y plus tv et donc on obtient l'expression de la solution. Petit f de t et de x est égal à l'exponentielle moins intégrale de zéro à t de a de s, x moins t moins s, v, ds. J'utilise l'expression de grand Y de zéro en fonction de la donnée initiale. Donc j'obtiens, f initiale de x moins tv. Donc ça c'est la contribution du terme de donnée initiale plus la contribution du terme source, intégrale de zéro à t, exponentielle moins intégrale de s à t de a de s prime, x moins t moins s prime, v, ds prime multipliée par grand S, petit s de x moins t moins s, v, ds. Cette expression peut paraître un petit peu longue ou compliquée mais en fait si le terme s et la fonction f initiale est explicite on peut éventuellement calculer les primitives qui sont sous nos yeux et obtenir une expression simple de petit f. Même si a et s et f initiale ne sont pas explicites, on peut utiliser, cette formule peut être utilisée pour déduire des propriétés sur la solution donc on a résolu l'équation. Donc de même que dans le cours, on a obtenu en quelque sorte une formule nécessaire pour la solution, on peut montrer que cette formule vérifie éffectivement l'équation et donc en terminant comme dans le cours, on a résolu le problème de Cauchy proposé dans l'exercice 1. uploads/s3/ 1-4-corrige-exercice-1.pdf