Correction MPSI Devoir Maison No 1 Exercice No 1 : Nous avons le résultat de co

Correction MPSI Devoir Maison No 1 Exercice No 1 : Nous avons le résultat de cours suivant : non(P ⇒Q) ∼P et non(Q) . Il se démontre à l’aide de la table de vérité suivante : P Q non(Q) P ⇒Q non(P ⇒Q) P et non(Q) V V F V F F V F V F V V F V F V F F F F V V F F Exercice No 2 : On a : n k n −k p −k  = n! k!(n −k)!× (n −k)! (p −k)!(n −p)! = n! k!(p −k)!(n −p)! = n!p! k!(p −k)!p!(n −p)! = n p p k  . Ainsi, par la formule du binôme de Newton, p X k=0 n k n −k p −k  = p X k=0 n p p k  = n p  p X k=0 p k  = n p  2p. Soient 0 ⩽p ⩽n , on a : p X k=0 n k n −k p −k  = 2p n p  . Exercice No 3 : On prouve par récurrence, que pour tout n ∈N, P(n) ”∀0 ⩽q ⩽p ⩽n, n−p+q X k=q k q n −k p −q  = n + 1 p + 1  .”. — Pour n = 0, on a p = q = 0 et la formule demandée est vraie. P(0) est vraie. — On suppose donné n ∈N tel que P(n) soit vraie. Démontrons P(n + 1), c’est-à-dire n+1−p+q X k=q k q n + 1 −k p −q  = n + 2 p + 1  . Soient 0 ⩽q ⩽p ⩽n + 1. Si p = n + 1 la formule demandée est vraie. Si p = q alors, par hypothèse de récurrence, n+1 X k=p k p  = n + 1 p  + n X k=p k p  = n + 1 p  + n + 1 p + 1  = n + 2 p + 1  . 1 Et, la formule demandée est vraie. On suppose donc 0 ⩽q + 1 ⩽p ⩽n. Par la formule de Pascal, on a : n+1−p+q X k=q k q n + 1 −k p −q  = n + 1 −p + q p −q  + n−p+q X k=q k q n + 1 −k p −q  = n + 1 −p + q p −q  + n−p+q X k=q k q n −k p −q  + n−p+q X k=q k q  n −k p −1 −q  = n−p+q X k=q k q n −k p −q  + n−(p−1)+q X k=q k q  n −k p −1 −q  . Par hypothèse de récurrence, on en déduit n+1−p+q X k=q k q n + 1 −k p −q  = n + 1 p + 1  + n + 1 p  = n + 2 p + 1  . Récurrence achevée. Pour tous 0 ⩽q ⩽p ⩽n, on a : n−p+q X k=q k q n −k p −q  = n + 1 p + 1  . Exercice No 4 : Soit n ∈N⋆. Par télescopage, on a : n X k=1  1 k(k + 1)  = n X k=1 1 k − 1 k + 1  = 1 − 1 n + 1. Ainsi, n Y k=1 2 1 k(k+1) = 21− 1 n+1 . Exercice No 5 : En posant i = 2n −k, on obtient que n X k=0 2n −k n  2k = 2n X i=n i n  22n−i = 2n X k=0 k n  22n−k. On montre alors par récurrence que, pour tout n ∈N, 2n X k=0 k n  2−k = 1. — La formule est clairement vraie pour n = 0. — On suppose donné n ∈N tel que 2n X k=0 k n  2−k = 1. 2 La formule de Pascal stipule que k n
= k+1 n+1
− k n+1
. On en déduit 1 = 2n X k=0 k n  2−k = 2n X k=0 k + 1 n + 1  2−k − 2n X k=0  k n + 1  2−k = 2n X k=0 k + 1 n + 1  2−k −  k n + 1  2−k+1  + 2n X k=0  k n + 1  2−k. Par télescopage, on en déduit que 1 = 2n + 1 n + 1  2−2n + 2n X k=0  k n + 1  2−k = 2n + 1 n + 1  2−(2n+1) + 2n + 1 n + 1  2−(2n+1) + 2n X k=0  k n + 1  2−k = 2n + 2 n + 1  2−(2n+2) + 2n + 1 n + 1  2−(2n+1) + 2n X k=0  k n + 1  2−k = 2n+2 X k=0  k n + 1  2−k car 2n + 2 n + 1  = 2 2n + 1 n + 1  . Récurrence achevée. Soit n ∈N. On a : n X k=0 2n −k n  2k = 4n. Autre méthode : On écrit que 2k = k X j=0 k j  . Ainsi, d’après l’exercice No 3, on en déduit n X k=0 2n −k n  2k = n X k=0 k X j=0 2n −k n k j  = n X j=0 n X k=j 2n −k n k j  = n X j=0  2n + 1 n + j + 1  Or, via le changement d’indice i = n + j + 1, on obtient n X j=0  2n + 1 n + j + 1  = 2n+ X i=n+1 2n + 1 i  . Ainsi, par le binôme de Newton, n X k=0 2n −k n  2k = 1 2 2n+1 X j=0  2n + 1 n + j + 1  = 1 222n+1 = 4n. 3 * * * FIN DU CORRIGÉ * * * 4 uploads/s1/ devoir-maison-1-correction.pdf

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• Publié le Apv 09, 2021
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• Langue French
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