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Contrôle optimal : théorie et applications Emmanuel Trélat Université Pierre et

Contrôle optimal : théorie et applications Emmanuel Trélat Université Pierre et Marie Curie (Paris 6) et Institut Universitaire de France Laboratoire Jacques-Louis Lions CNRS, UMR 7598 4 place Jussieu, BC 187 75252 Paris cedex 05, FRANCE – Première édition: 2005, Vuibert, Collection "Mathématiques Concrètes", 246 pages. ISBN 2 7117 7175 X. – Seconde édition: 2008, Vuibert, Collection "Mathématiques Concrètes", 250 pages. ISBN-10: 2711722198. (correction de misprints) – Présente version électronique: 2013. Ajout de quelques exercices, correction de quelques misprints. Si vous trouvez des misprints ou des choses incorrectes, merci de m’envoyer un mail: emmanuel.trelat@upmc.fr 2 Table des matières Notations 7 Avant-propos 9 1 Introduction : contrôle optimal d’un ressort 13 1.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Modélisation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Quelques remarques sur l’équation . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 I Contrôle optimal de systèmes linéaires 19 2 Contrôlabilité 23 2.1 Ensemble accessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 Topologie des ensembles accessibles . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.3 Déﬁnition de la contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Contrôlabilité des systèmes linéaires autonomes . . . . . . . . . . 28 2.2.1 Cas sans contrainte sur le contrôle : condition de Kalman 28 2.2.2 Cas avec contrainte sur le contrôle . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3 Similitude de systèmes, forme de Brunovski . . . . . . . . 31 2.3 Contrôlabilité des systèmes linéaires instationnaires . . . . . . . . 35 3 Temps-optimalité 39 3.1 Existence de trajectoires temps-optimales . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Condition nécessaire d’optimalité : principe du maximum dans le cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Synthèse optimale pour le problème de l’oscillateur har- monique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3 4 TABLE DES MATIÈRES 4 Théorie linéaire-quadratique 53 4.1 Existence de trajectoires optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Condition nécessaire et suﬃsante d’optimalité : principe du maxi- mum dans le cas LQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 Fonction valeur et équation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.1 Déﬁnition de la fonction valeur . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.3.2 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3.3 Représentation linéaire de l’équation de Riccati . . . . . . 66 4.4 Applications de la théorie LQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.1 Problèmes de régulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.2 Filtre de Kalman déterministe . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.4.3 Régulation sur un intervalle inﬁni et rapport avec la sta- bilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 II Théorie du contrôle optimal non linéaire 81 5 Déﬁnitions et préliminaires 85 5.1 Application entrée-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1.2 Régularité de l’application entrée-sortie . . . . . . . . . . 86 5.2 Contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.1 Ensemble accessible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.2.2 Résultats de contrôlabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.3 Contrôles singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.3.2 Caractérisation hamiltonienne des contrôles singuliers . . 94 5.3.3 Calcul des contrôles singuliers . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6 Contrôle optimal 97 6.1 Présentation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2 Existence de trajectoires optimales . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2.1 Pour des systèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2.2 Pour des systèmes aﬃnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7 Principe du Maximum de Pontryagin 103 7.1 Cas sans contrainte sur le contrôle : principe du maximum faible 103 7.1.1 Le problème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 7.1.2 Le problème de Mayer-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 105 7.2 Principe du maximum de Pontryagin . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.2.1 Enoncé général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 7.2.2 Conditions de transversalité . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.2.3 Contraintes sur l’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.3 Exemples et exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.3.1 Contrôle optimal d’un ressort non linéaire . . . . . . . . . 114 7.3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 TABLE DES MATIÈRES 5 7.4 Contrôle optimal et stabilisation d’une navette spatiale . . . . . . 154 7.4.1 Modélisation du problème de rentrée atmosphérique . . . 154 7.4.2 Contrôle optimal de la navette spatiale . . . . . . . . . . . 162 7.4.3 Stabilisation autour de la trajectoire nominale . . . . . . 171 8 Théorie d’Hamilton-Jacobi 179 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/s1/ controle-optimal-theorie-et-applications-pdf.pdf