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IPST : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle Con

IPST : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle Continu 2 Corrigé / 2008-2009 IPST : Licence LPAI – L3-S5 UE52 Génie Mécanique : Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Examen final (2ème contrôle continu) - Jeudi 22 janvier 2009 - 14h00-16h00 Tous documents de cours/TD, calculatrices autorisés I) Première partie Cours & Culture générale (4 points) : a) Définissez le nombre de Mach et classez dans un ordre croissant du nombre de Mach les écoulements suivants: Transsonique, subsonique, hypersonique, supersonique Nombre de Mach : rapport de la vitesse locale du fluide et de la vitesse locale du son Réponse : Subsonique, Transsonique, Supersonique, Hypersonique b) Situez dans le temps du plus ancien vers le plus récent les travaux de : Magnus, Torricelli, Navier, Bernouilli : (R1) Torricelli, Magnus, Navier, Bernouilli (R2) Torriccelli, Bernouilli, Navier, Magnus (R3) Bernouilli, Navier, Torricelli, Magnus (R4) Bernouilli, Torricelli, Magnus, Navier c) Dans quel cas les équations de Navier-Stokes peuvent-ils se réduire aux équations de Stokes ? Dans le cas des écoulements à faible nombre de Reynolds (rampants) ou les forces d’inertie non-linéaires sont négligeables par rapport aux forces visqueuses II) Deuxième partie : Exercice sur les écoulements en conduite cylindrique lisse (Barême : 9 points) De l’huile de densité 0,85 s’écoule dans une conduite cylindrique lisse horizontale de rayon R = 60 mm, Le nombre de Reynolds de l’écoulement est de 250. La viscosité dynamique est de 0,02 Ns/m2. a) calculer la perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite), l’exprimer aussi en équivalent de hauteur de colonne d’eau (mCE) b) Déterminez la vitesse de débit um. Donnez aussi la vitesse sur l’axe. c) A partir du profil de vitesse, déterminez la distance par rapport à l’axe de la conduite où la vitesse locale est égale à cette vitesse de débit. d) Calculez la contrainte visqueuse à la paroi. e) Déterminez enfin la puissance dissipée si la conduite fait 100 mètres de long. f) On multiplie le débit par 40. Calculer alors la nouvelle perte de charge linéaire Δp (par mètre de longueur de conduite). g) Que devient cette perte de charge linéaire si la conduite présente une rugosité relative ε/D = 0.02 1 IPST : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle Continu 2 Corrigé / 2008-2009 h) Déterminez enfin la puissance dissipée (à fournir) pour transporter le fluide à débit initial (Reynolds = 250), sur une longueur de 100 mètres, sachant que la conduite est inclinée de 45° vers le haut. Réponses : L’écoulement est laminaire, 256 . 0 250 / 64 Re 64 = = = λ La vitesse de débit est donnée par : s m m x m kg m Ns x D D U / 049 . 0 ) 12 . 0 . / 850 /( . 02 . 0 250 / 250 / 250 3 2 = = = = − ρ μ ν Vitesse maximale sur l’axe : en laminaire 2 fois la vitesse de débit = 0.098 m/s Le profil est parabolique et on a : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = ) ( 1 . 2 ) ( 2 2 R r U r u , soit u(r) = U en m R r 0425 . 0 2 / 06 . 0 2 / = = = La perte de charge linéaire est donnée par : Pa m s m x m x m kg x D LU h g p 177 . 2 24 . 0 / ) 049 . 0 ( 1 / 850 256 . 0 . 2 . 2 2 2 3 2 = = = Δ = Δ ρ λ ρ mmCe 222 . 0 ) s / m 81 . 9 x m / kg 1000 /( Pa 177 . 2 hCem 2 3 = = Δ Contrainte à la paroi : Pa m m x Pa L R p p 0653 . 0 2 / 06 . 0 177 . 2 2 . = = Δ = τ Autre calcul : Pa x x R U R r r U AXE p 0653 . 0 06 . 0 / 098 . 0 2 02 . 0 / 2 ) ( . = − = − = = ∂ ∂ = μ μ τ Puissance dissipée : Watt s m x x s m x m x Pa R U L p 12064 . 0 ) / 06 . 0 ( 1416 . 3 / 049 . 0 100 177 . 2 . . . . 2 2 = = Δ π Autre calcul : Watt s m x m x m x x x Pa RLU p 12064 . 0 / 049 . 0 100 06 . 0 1416 . 3 2 0653 . 0 2 . = = π τ Pour un nombre de Reynolds de 10000, en conduite lisse, on a le régime de Blasius : λ =0.3164.Re-1/4 ,soit 03164 . 0 = λ La vitesse de débit est aussi multipliée par 40, soit : 1.96 m/s La perte de charge linéaire est donnée par : 2 IPST : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle Continu 2 Corrigé / 2008-2009 Pa m s m x m x m kg x D LU h g p 5 . 430 24 . 0 / ) 96 . 1 ( 1 / 850 03164 . 0 . 2 . 2 2 2 3 2 = = = Δ = Δ ρ λ ρ En conduite horizontale, la puissance sur 100 mètres est donnée par : Puissance dissipée : Watt m x x s m x m x Pa R U L p 954 ) 06 . 0 ( 1416 . 3 / 96 . 1 100 5 . 430 . . . . 2 2 = = Δ π En conduite rugueuse, d’après les courbes de Nikuradsé : λ = 0.0525 Pa Pa p 714 5 . 430 03164 . 0 0525 . 0 = = Δ En conduite inclinée de 45° vers le haut, la différence de pression supplémentaire à vaincre est de : kPa x x x L g p huile 590 707 . 0 100 81 . 9 850 ) 45 sin( . . . = = ° = Δ ρ sur 100 mètres Globalement la puissance vaut : Watt m x x s m x Pa R U p 327 ) 06 . 0 ( 1416 . 3 / 049 . 0 590000 . . . 2 2 = = Δ π Diagramme de Nikuradse 3 IPST : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle Continu 2 Corrigé / 2008-2009 III) Partie 3 : Corps immergés, forces de traînée Traînée d’une sphère de liège dans une rivière (7 points) Source : Munson et al. Page 615 Une sphère de liège de 2 pouces (inches) de diamètre est attachée au fond d’une rivière par un câble fin. Sachant que le coefficient de traînée de la sphère est de 0.5 et que l’on néglige la masse et la traînée du câble, déterminez la vitesse d’écoulement de la rivière. Le poids spécifique (ρg) du liège est de 13 lb/ft3 (Rappels : 1 lb = 4.448 N, 1 foot = 0.3048 m, 1 inch = 2.54 cm) Indications : Montrez d’abord que le masse volumique du liège est de 208 kg/m3 On écrira l’équilibre des forces horizontales et verticales (poids, poussée d’Archimède, force de traînée et tension du câble) Poids de la sphère de liège : Volume de la sphère : 3 6 3 3 10 642 . 68 ) 0254 . 0 ( 3 4 3 4 m x R Vol − = = = π π Masse spécifique : 3 3 3 3 m / N 2042 m ) 3048 . 0 ( N 448 . 4 x 13 ft / lb 13 g = = = ρ Poids de la sphère : N m x x m N gVol Poids 140 . 0 10 642 . 68 / 2042 3 6 3 = = = − ρ Poussée d’Archimède vers le haut : N m x x m N x Vol g P eau A 673 . 0 10 642 . 68 / 98100 . . 3 6 3 = = = − ρ La composante verticale de la tension du fil compense la résultante force de pesanteur + force d’Archimède : Tension verticale = Tension x sin(60°) = Tension x 2 / 3 La tension sera donnée par : 4 IPST : Licence LPAI – L3-S5 Mécanique des Fluides (Daniel Huilier) Contrôle Continu 2 Corrigé / 2008-2009 N 615 . 0 3 / 2 x ) 140 . 0 673 . 0 ( 3 / 2 x ) Poids P ( T A = − = − = La composante horizontale de la traction compense la traînée : D 2 2 f H C ) R .( U 2 1 N 308 . 0 ) 60 uploads/s1/ controle-continu2-ipst-22-01-2009-corrige.pdf