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conjgrad Optimisation num ?erique M ?ethodes du gradient conjugu ?e lin ?eaire Chapitre Daniel KAUTH Universit ?e de Fribourg le novembre Table des mati eres La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Introduction Quel est le probl eme a r ?esoudre M

Optimisation num ?erique M ?ethodes du gradient conjugu ?e lin ?eaire Chapitre Daniel KAUTH Universit ?e de Fribourg le novembre Table des mati eres La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Introduction Quel est le probl eme a r ?esoudre M ?ethode des directions conjugu ?ees Propri ?et ?es de base de la m ?ethode du gradient conjugu ? e Une forme plus pratique de la m ?ethode du gradient conjug u ?e La vitesse de convergence Pr ?econditionnement Pr ?econditionneurs pratiques Chapitre La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Introduction La m ?ethode pr ?esent ?ee dans ce seminaire est celle du gradient conjugu ?e Il ne s ? agit non seule- ment d ? une des techniques les plus utiles pour r ?esoudre de g rands syst emes lin ?eaires mais elle peut m eme etre adapt ?ee de telle mani ere a ce qu ? ell e r ?esoud des probl emes d ? optimisation non-lin ?eaires Ces deux variantes reposant sur la m eme id ?ee de base sont respectivement appel ?ees m ?ethodes du gradient conjugu ?e lin ?eaire et non -lin ?eaire La m ?ethode analys ?ee ci dessous est celle trouv ?ee dans les ann ?ees par Hestens et Stie- fel a savoir la m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire Cette derni ere se base sur la re- cherche de directions successives permettant d ? atteindre la solution exacte d ? un syst eme lin ?eaire de matrice sym ?etrique et d ?e ?nie positive et rep r ?esente une alternative a l ? algorithme d ? ?elimination de Gauss Elle est m eme souvent pr ?ef ?er ?e e a cette derni ere lorsque les syst emes d ? ?equations sont grands Dans la suite nous allons rencon trer l ? e ?et d ? am ?elioration provoqu ?e par le pr ?econditionnement du syst eme lin ?eaire ainsi qu ? un grand nombre d ? autres propri ?et ?es int ?eressantes de cette m ?ethode Quel est le probl eme a r ?esoudre La m ?ethode du gradient conjugu ?e lin ?eaire est une m ?ethod e qui r ?esoud deux probl emes ?equivalents poss ?edant la m eme solution unique Ces probl emes sont le syst eme d ? ?equations lin ?eaires Ax b et le probl eme de minimisation suivant x x T Ax ??bT x Dans ces deux probl emes Aest une matrice n? n sym ?etrique et d ?e ?nie positive Pour la bonne compr ?ehension de la suite de ce seminaire notons enc ore que le gradient de est ?egal au r ?esidu du syst eme lin ?eaire ?? x Ax ??b r x CHAPITRE LA M ? ETHODE DU GRADIENT CONJUGU ? E LIN ? EAIRE M ?ethode des directions conjugu ?ees Une des multiples propri ?et ?es int ?eressantes de la m ?etho de du gradient conjugu ?e est la cr ?eation ?economique d ? une suite de