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C21 series iii C - Séries Chapitre Séries PCSI - Lycée Pothier III Séries à termes positifs Théorèmes de comparaison Proposition Sommes partielles d ? une SATP Soit un une série de terme général un positifs pour tout n ?? N Alors i La suite des sommes par

C - Séries Chapitre Séries PCSI - Lycée Pothier III Séries à termes positifs Théorèmes de comparaison Proposition Sommes partielles d ? une SATP Soit un une série de terme général un positifs pour tout n ?? N Alors i La suite des sommes partielles Sn n ??N est croissante ii La série converge si et seulement si Sn n ??N est majorée On a alors pour tout n ?? N n ? uk ? uk k k iii Si Sn n ??N n ? est pas majorée alors elle diverge vers ? Preuve i Pour tout n ?? N Sn ?? Sn un ? donc Sn n est croissante ii et iii D ? après le théorème de la limite monotone Sn n converge si et seulement si elle est majorée et ? alors pour tout n ?? N Sn ? lim n ? ? Sn uk Sinon lim n ? ? Sn ? k Proposition Critère de majoration Soit un et vn deux séries à termes positifs telles que ??n ?? N un ? vn Alors i Si vn converge alors un converge ii Si un diverge alors vn diverge Preuve Par sommation des inégalités pour tout n ?? N n n uk ? vk k k - c T Vareschi CC - Séries PCSI - Lycée Pothier i Si vn converge comme vn ? pour tout n ?? N alors d ? après la proposition précédente pour n ? tout n ?? N vk ? vk Donc les sommes partielles de un sont également majorée par k k C C D ? après la proposition précédente un converge ii Si n n un diverge alors ? lim n ? ? uk ? donc lim n ? ? vk ? k k Remarque s On note dans la preuve qu ? on peut passer aux inégalités dans les sommes in ?nies pourvu qu ? elles soient convergentes Corollaire Critère de majoration bis Soit un et vn deux séries à termes positifs Si un n ?O ? vn i Si vn est convergente alors un est convergente ii Si un est divergente alors vn est divergente Preuve Si un n ?O ? vn alors il existe C ? tel que ??n ?? N un ? C vn et donc un ? Cvn car les séries sont à termes positifs Il su ?t donc d ? appliquer le théorème précédent aux séries un et Cvn Exemple s Déterminer la nature des séries suivantes i n Pour tout n ?? N n ? n Or n est convergente série de Riemann de paramètre De plus les deux séries sont à termes positifs Donc par critère de comparaison n converge ln n ii n ln n Pour tout n ? ? nn Or est divergente série de Riemann de paramètre n De plus les deux séries sont à termes positifs Donc par critère de comparaison ln n diverge n - c T Vareschi CC - Séries PCSI - Lycée Pothier Remarque s