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Sécurité informatique Université Kasdi Merbah Ouargla Département Mathématique et informatique Crypto II Rappels mathématiques Master informatique industrielle Mars Master informatique industrielle Sécurité informatique CRappels mathématiques Quelques pré-requis mathématiques ?? Divisibilité et primalité ?? PGCD et Algorithmes d ? Euclide Arithmétique modulaire ?? Addition modulaire dans Zn ?? Multiplication modulaire dans Zn Inversion modulaire ?? Inversion modulaire dans Zn ?? Calcul de l ? inverse modulaire Ordre de et Fonction d ? Euler Exponentiation modulaire dans Zn Multiplication factorisation Cryptographie RSA ?? Fonction à sens unique ?? Chi ?rement RSA ?? exemple ?? Mise en ?uvre de RSA Master informatique industrielle Sécurité informatique C - Quelques pré-requis mathématiques I ? La divisibilité propriétés ? Division euclidienne Master informatique industrielle Sécurité informatique C - Quelques pré-requis mathématiques II ? PGCD le Plus Grand Commun Diviseur Propriétés et Primalité ? Algorithme d ? Euclide Tant que b faire Exemple pgcd r ? a mod b ?? a ? b ?? b ? r ?? Fin tant que retourner a Complexité O logn ou O loga Master informatique industrielle Sécurité informatique C - Quelques pré-requis mathématiques III ? Algorithme d ? Euclide étendu Si b alors d ? a x ? y ? x ? x ? y ? y ? Tant que b faire q ? a b d ? a mod b ou d ? a - b q x ? x - q x y ? y - q y x ? x x ? x y ? y y ? y a ? b b ? d Fin tant que d ? a x ? x y ? y retourner d x y Complexité O logn ou O loga Master informatique industrielle Sécurité informatique C - Arithmétique modulaire I ? Addition modulaire Z mod mod ? ? Soustraction modulaire Z ?? mod ?? - ?? mod ? Zn forme un groupe commutatif d ? ordre n Master informatique industrielle Sécurité informatique C - Arithmétique modulaire II ? Multiplication modulaire Z x mod x x mod x x mod ? ? Zn x forme un anneau commutatif X ? Élément inversible a est inversible si ? Congruence modulaire relation d ? équivalence Master informatique industrielle Sécurité informatique C ?? Inversion modulaire I Notation b a mod n ou mieux b a- mod n - mod - mod X - mod - mod - mod - mod Tous les éléments sont inversibles ? L ? ensemble des élément inversibles modulo n noté groupe commutatif Forme un Master informatique industrielle Sécurité informatique C ?? Inversion modulaire II ? Division modulaire dans Z ? INVERSION MODULAIRE DANS Z X - mod - mod - mod Les inverses de ne sont pas dé ?nis modulo X Master informatique industrielle Sécurité informatique C ?? Inversion modulaire III ? A retenir deux cas di ?érents n est premier Zn x est un corps ? Tous les éléments de sont inversibles ? n n ? est pas premier Zn x est un anneau ? Seuls les éléments de

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