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Loi binomiale 1 LOI BINOMIALE Un arbre du choix permet de modéliser un encha? nement d'expériences aléatoires Si on utilise des branches équiprobables le dessin devient vite fastidieux On peut y remédier en limitant l'arbre aux cas favorables On peut auss

LOI BINOMIALE Un arbre du choix permet de modéliser un encha? nement d'expériences aléatoires Si on utilise des branches équiprobables le dessin devient vite fastidieux On peut y remédier en limitant l'arbre aux cas favorables On peut aussi utiliser un arbre pondéré en indiquant sur chaque branche la probabilité correspondante En e ?ectuant n expériences aléatoires identiques la variable aléatoire X égale au nombre de réussites suit une loi binomiale B n p o? p est la probabilité de réussite à chaque tirage Comment modéliser la répétition d'expériences identiques et indépendantes Modélisation d'une répétition Pour modéliser la répétition deux fois de suite d'une même expérience aléatoire le plus simple est d'utiliser un tableau à double entrée À partir de trois fois un arbre est indispensable Propriété fondamentale Si on répète n fois une expérience aléatoire la probabilité d'obtenir le n-uplet e e e en est le produit des probabilités d'obtenir chacun des événements élémentaires e e ? ei ? en Expériences indépendantes Deux expériences sont indépendantes si le résultat de la première n'in uence pas le résultat de la seconde Exemple Une urne contient six boules indiscernables au toucher une rouge deux vertes et trois noires On tire une boule trois fois de suite avec remise à chaque fois Calculer la probabilité d'obtenir une boule verte et deux boules noires Soient les événements V on obtient une boule verte ? et N on obtient une boule noire ? Comme on remet chaque fois la boule obtenue il y a identité et indépendance et Dressons l'arbre pondéré des cas favorables Trois triplets conviennent V N N N V N et N N V soit C À quelles conditions une loi de probabilité est-elle une loi binomiale Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire qui conduit à deux issues réussite ou échec Si p est la probabilité de réussite le probabilité d'échec est Lorsqu'on répète une épreuve de Bernoulli on obtient un schéma de Bernoulli La loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un schéma de Bernoulli s'appelle une loi binomiale Si n est le nombre de répétitions de l'expérience et p la probabilité de réussite de chacune on note cette loi B n p Pour avoir a ?aire à une loi binomiale trois conditions sont donc à réaliser - répétition d'un expérience - deux issues pour chaque expérience - indépendance des résultats Comment appliquer la formule de la loi binomiale Propriété Si une variable aléatoire X suit une loi binomiale B n p alors la probabilité de k succès est égale à Le coe ?cient binomial indique le nombre de branches de l'arbre du choix aboutissant à un n-uplet solution Justi ?cation Pour chacune des branches aboutissant à un n-uplet solution la probabilité de réussite est de Le coe ?cient binomial est donné par la calculatrice - Pour la Texas instrument TI Dans le menu Maths choisir l'option PRB et sélectionner nCr - Pour la Casio Graph Dans le menu OPTION choisir PROB puis nCr