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Lecon07 pdf LEÇON N ? Schéma de Bernoulli et loi binomiale Exemples Pré-requis ?? Probabilités dé ?nition calculs et probabilités conditionnelles ?? Notion de variables aléatoires et propriétés associées espérance variance ?? Indépendance de variables alé

LEÇON N ? Schéma de Bernoulli et loi binomiale Exemples Pré-requis ?? Probabilités dé ?nition calculs et probabilités conditionnelles ?? Notion de variables aléatoires et propriétés associées espérance variance ?? Indépendance de variables aléatoires X ? Y ?? P X ?? Y P X P Y Introduction Dé ?nition On appelle épreuve de Bernoulli toute épreuve ne possédant que deux issues possibles que l ? on appelle succès et échec Si X désigne une variable aléatoire réelle comptant le nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli alors nous avons les deux cas suivants X est l ? événement corespondant au succès on lui donne la probabilité p p ?? X est donc l ? événement correspondant à l ? échec Il a pour probabilité q ?? p Si une variable aléatoire réelle X suit une loi de Bernoulli alors on note L X B p o? p désigne la probabilité du succès Exemples Le lancer d ? une pièce équilibrée non truquée est une épreuve de Bernoulli car il n ? y a que deux issues possibles Soit X correspondant à l ? événement obtenir Pile ? de probabilité Soit X correspondant à l ? événement obtenir Face ? de probabilité Si on lance un dé équilibré on peut considérer par exemple l ? événement obtenir ? comme étant le succès et donc l ? événement ne pas obtenir ? comme l ? échec Dans ces conditions P X et P X Remarque Puisqu ? il n ? y a que deux issues possibles dans une épreuve de Bernoulli c ? est nous qui choisis- sons quel événement sera synonyme de succès On aura pu choisir l ? événement obtenir Face ? comme succès dans l ? exemple précédent Théorème L ? espérance et la variance d ? une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli sont données par E X p et Var X p ?? p pq C Schéma de Bernoulli et loi binomiale Exemples démonstration Récapitulons la loi d ? une variable aléatoire de Bernoulli gr? ce au tableau suivant xi P X xi ?? p p Rappelons les formules donnant l ? espérance et la variance d ? une variable aléatoire E X xi P X xi et Var X E X ?? E X i Ici nous avons donc E X p ?? p p et Var X ?? p p ?? p ?? p ?? p p ?? p p p ?? p Schéma de Bernoulli E ?ectuons maintenant n épreuves successives de Bernoulli par exemple on lance n fois de suite une pièce équilibrée On a donc pour univers x xn xi ?? n Soient X Xn n variables aléatoires réelles chacune suivant une loi de Bernoulli La variable Xi est dé ?nie de dans par Xi x xn xi avec xi en cas de succès et xi en cas d ? échec Pour cette expérience aléaoire on se ?xe quelques hypothèses de départ H L X L Xn B p H