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Synthese integrales generalisees

Résumé intégrales généralisées Gilbert Primet novembre On est invité à ré échir aux exemples donnés Convergence divergence d ? une intégrale Dé ?nitions Soit f ?? lorsque C M a b K K RouC a l ? application de a b dans K b x ? ?? R? axRf at f t d t converge lorsque x tend vers b Cette limite est alors appelée l ? intégrale de a à b de f et est notée b a f t d t Si l ? intégrale b a f t d t ne converge pas on dit qu ? elle diverge Étudier la nature d ? une intégrale c ? est dire si elle converge ou si elle diverge Remarques a Si b est réel et si f admet une limite ?nie en b alors l ? intégrale b a f t d t converge On dit qu ? elle est faussement généralisée b Si b ? et si f admet une limite en b autre que alors b a f t d t diverge On dit que la divergence est grossière Par contrapposition si l ? intégrale ? a f t d t converge et si f a une limite ?nie en ? cette limite est forcément Attention f peut ne pas avoir de limite en ? Exemple soit f la fonction dé ?nie sur R par Pour tout n ?? N ? f est af ?ne par morceaux sur n n f n n f est nulle sur n n ?? n et sur n n f est af ?ne sur n ?? n n et sur n n n En ?n f est nulle sur Faire un dessin f n ? a pas de limite en ? mais ? f t d t converge c Si c ?? a b les intégrales b a f t d t et b c f t d t sont de même nature et en cas de convergence b c b f t d t f t d t f t d t Relation de Chasles a a c d Si b a f t d t converge alors limx ?b ?? b x f t d t On a des notions identiques lorsque f est continue par morceaux sur a b en considérant la limite de x ? b x f t d t en a Soit f ?? C M a b K on dit que b a f t d t converge lorsque pour un certain c ?? a b les intégrales c a f t d t et b c f t d t convergent Lorsque c ? est le cas on pose par dé ?nition b c b f t d t f t d t f t d t a a c C La nature de l ? intégrale et sa valeur sont indépendantes de c d ? après la relation de Chasles Remarque Selon l ? exemple on aura a ?aire à une