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S8 cours Méthodes numériques pour les EDPs Etude des problèmes elliptiques M IMAT-MApI ?? EMMAI B ?? semaines de cours h Stefan LE COZ CCopyright c Stefan LE COZ Published by Stefan LE COZ https www math univ-toulouse fr slecoz Licensed under the Creative

Méthodes numériques pour les EDPs Etude des problèmes elliptiques M IMAT-MApI ?? EMMAI B ?? semaines de cours h Stefan LE COZ CCopyright c Stefan LE COZ Published by Stefan LE COZ https www math univ-toulouse fr slecoz Licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial Unported License the ??License ? You may not use this ?le except in compliance with the License You may obtain a copy of the License at http creativecommons org licenses by-nc Unless required by applicable law or agreed to in writing software distributed under the License is distributed on an ??as is ? basis without warranties or conditions of any kind either express or implied See the License for the speci ?c language governing permissions and limitations under the License First printing December CContents Introduction Théorie des distributions en dimension un Exemples introductifs L ? espace des fonctions test D I L ? espace des distributions D I Espaces de Sobolev en dimension un L ? espace H I Les espaces H I et W k p I Problèmes aux limites en dimension un Problème de Helmholtz condition de Dirichlet homogène Problème de Helmholtz condition de Dirichlet inhomogène Problème de Helmholtz autres conditions au bord Preuve du théorème de Lax-Milgram Espaces de Sobolev en dimension supérieure L ? espace H Théorie des traces C Problèmes Elliptiques en dimension supérieure Problème de Helmholtz condition de Dirichlet homogène Le principe du maximum Index Bibliography C Introduction L ? objectif de ce document est de fournir un cadre fonctionnel et quelques techniques pour la résolution d ? équations aux dérivées partielles Pour motiver les concepts et techniques mathématiques introduits par la suite prenons l ? exemple suivant On considère une corde élastique tendue ?xée à l ? horizontale entre deux points En posant un objet sur cette corde un funambule par exemple on la soumet à une force qui la déforme par rapport à sa position de repos Connaissant la force à laquelle la corde est soumise on souhaite conna? tre la déformation subie par la corde La modélisation mathématique de cette situation est la suivante On considère la corde au repos comme le segment L L étant la longueur de la corde Étant donné x ?? L la déformation de la corde est mesurée par la distance entre sa position sous tension et sa position au repos voir Figure On note f L ? R la fonction représentant la force exercée sur la corde L ? énergie totale du système est composée d ? une part d ? une énergie potentielle Figure Corde soumise à une déformation C Chapter Introduction donnée par l ? opposé du travail de la force f par rapport au déplacement u i e L ?? f x u x dx d ? autre part par l ? énergie potentielle élastique dûe à la déformation de la corde Sous l ? hypothèse de petits déplacements cette énergie peut être exprimée comme k L u x dx o? k est la constante de raideur de