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Logique mathematique etudiants predicat ch3

Université de Monastir Institut Supérieur d ? Informatique Et de Mathématique de Monastir Niveau Deuxième année LF LA info Enseignant M Mahdi JEMMALI Chapitre Logique des prédicats du premier ordre Introduction Nous avons vu la logique propositionnelle basée sur les propositions qui nous a permis de mettre au point une première théorie du raisonnement ? Il faut aller plus loin que le simple calcul des propositions Dé ?nition un prédicat est une formule logique qui dépend d'une variable libre Syntaxe du langage de prédicat L ? alphabet Le langage du calcul des prédicats est formé des symboles suivants Ensemble de symboles appelé séparateur ? ? et ? Un ensemble de symboles appelé constante les lettres minuscules de l ? alphabet et leurs concaténations a b c Un ensemble de symboles appelé variable les lettres majuscules et leurs concaténations x y z M Mahdi JEMMALI C Un ensemble dénombrable de fonctions f g h Un ensemble de symboles appelé prédicat comme les variables construites de lettres majuscules et leurs concaténations P Q Lorsque on manipule un prédicat on doit spéci ?er son nombre d ? arguments appelé aussi Arité Prédicat d ? Arité ?xe L ? Arité est un nombre entier Lorsque l ? Arité est ?xé à le prédicat est aussi appelé proposition Un ensemble de symboles appelé connecteur logique ?? ?? ? ?? Deux symboles appelés quanti ?cateurs universel ?? et existentiel ?? Termes Tout terme est engendré par application de deux lois suivantes Les constantes et les variables sont des termes Si f est un symbole de fonction d ? arité n et si t tn sont des termes alors f t tn est un terme Atomes ou formules atomiques Les formules atomiques sont formées à partir de la règle suivante Si P est un symbole de prédicat d ? arité n et si t tn sont des termes alors P t tn est une formule atomique Formule bien formée FBF M Mahdi JEMMALI CUne formule en logique des prédicats se construit similairement à une formule en logique des propositions En fait un prédicat va jouer un rôle analogue à une proposition On doit en plus prendre en compte les quanti ?cations Les FBF serviront à exprimer des signi ?cations Quanti ?cateurs Les di ?érents connecteurs vus dans le chapitre précédant restent tout à fait d'actualité Mais pour le calcul des prédicats nous devons introduire deux nouveaux symboles ce sont des quanti ?cateurs Le quanti ?cateur existentiel Ce quanti ?cateur signi ?e il existe ? ou plus précisément il existe au moins un ? et est noté ?? On peut écrire ??xP x Et on doit comprendre il existe au moins un x tel que P x soit vrai ? revient à considérer que P a ?? ??P an est vrai si a an est le domaine de x On peut écrire aussi ?? xP x M Mahdi JEMMALI CEt on doit comprendre il existe un et un seul x tel que P x soit vrai ? Le