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Chapitre 4 logiques et techniques de demontration en mathematiques

Chapitre Logique et techniques de démonstration en mathématiques Nous rappelons ou introduisons dans ce chapitre préliminaire quelques éléments de logique et de vocabulaire mathématique indispensables à la compréhension des démonstrations des chapitres suivants Assertions Dans le cadre d'une théorie mathématique donnée une assertion est une phrase mathématique à laquelle on peut attribuer une et une seule valeur booléenne à savoir vrai V en abrégé ou faux F en abrégé Certaines assertions sont déclarées vraies a priori ce sont les axiomes sinon la véracité d'une assertion doit résulter d'une démonstration Les assertions démontrées sont appelées théorèmes ou propositions suivant leur importance Un lemme est un résultat préalable utile à une démonstration plus conséquente tandis qu'un corollaire est une assertion vraie qui découle d'un résultat précédent Opérations sur les assertions À une assertion on peut associer sa négation à deux assertions leur disjonction ou leur conjonction Les valeurs booléennes de ces assertions associées dépendent des valeurs des assertions de départ et sont données par les dé ?nitions suivantes Dé ?nition La négation d'une assertion P se note non P L'assertion non P est vraie si et seulement si P est fausse Dé ?nition Étant données deux assertions P et Q on appelle disjonction de ces deux assertions l'assertion P ou Q qui est vraie si et seulement si l'une au moins des assertions est vraie Dé ?nition Étant données deux assertions P et Q on appelle conjonction de ces deux assertions l'assertion P et Q qui est vraie si et seulement si les deux assertions sont simultanément vraies À ces trois opérations ou connecteurs on ajoute les opérations d'implication et d'équivalence CDé ?nition Étant données deux assertions P et Q on dé ?nit l'assertion P implique Q ? appelée implication et notée P ?? Q de la manière suivante l'assertion P ?? Q est vraie quand P est fausse ou lorsque P et Q sont vraies On dit encore que P est une condition su ?sante pour Q ? et que Q est une condition nécessaire pour P ? L'assertion P est appelée l'hypothèse et Q la conséquence Dé ?nition Étant données deux assertions P et Q on dé ?nit l'assertion P équivaut à Q ? appelée équivalence et notée P ?? Q de la manière suivante l'assertion P ?? Q est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies ou fausses On dit encore que P et Q sont équivalentes ? ou que P est une condition nécessaire et su ?sante pour Q ? Tables de vérité La dé ?nition des assertions précédentes est résumée dans les tables de vérité ci- dessous P non P Q P V F F V V V V F F V F F P Q P et Q V V V V F F F V F F F F P ou Q V V V F C P Q P ??Q P Q P ??Q V V V V V V V F F V F F F V V F V