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Tenseurs pdf Institut Sup ?erieur de M ?ecanique de Paris Cours de math ?ematiques septembre Introduction a la notion de tenseur par St ?ephane Dugowson s dugowson gmail com type T K T X X T X X ? T X L X T X B X K tenseur ? x r s ere base e ei ? j i ? j

Institut Sup ?erieur de M ?ecanique de Paris Cours de math ?ematiques septembre Introduction a la notion de tenseur par St ?ephane Dugowson s dugowson gmail com type T K T X X T X X ? T X L X T X B X K tenseur ? x r s ere base e ei ? j i ? j coe ? ? e U uiei M i i aji cij eme base f ? ? j i ? j coe ? ? f V vi ? N i i bij dij rel bases f e P P ei ? j qik ? ? j plj i ? j pik k ? l pjl rel coe ? ? ? V P ?? U N MP B P ?? AP D tP CP Figure ?? R ?ecapitulatif des tenseurs usuels d ? ordre ? Pr ?esentation Pourquoi parle-t-on de tenseurs Comment exprimer math ?ematiquement les contraintes qui s ? exercent en chaque point d ? un milieu continu solide uide etc Les scalaires permettent certes d ? exprimer des pressions et les vecteurs des forces mais ces entit ?es math ?ematiques s ? averent insu ?santes une contrainte en un point d ? un milieu continu n ? est pas une simple pression ni m eme repr ?esentable par un unique vecteur force Alors qu ? un scalaire est la donn ?ee d ? un nombre et qu ? il en faut trois pour repr ?esenter un vecteur une base ayant ?et ?e choisie six nombres au moins sont n ?ecessairesa l ? expression d ? une telle contrainte On s ? est rendu compte que ces six scalaires caract ?erisaient dans une base donn ?ee une matrice ? sym ?etrique Mais de m eme qu ? un vecteur est un etre math ?ematique ind ?ependant du choix d ? une base et qu ? il ne se r ?esume donc pas ases trois coordonn ?ees de m eme les six coe ?cients en question se rapportent en fait a une entit ?e math ?ematique qui existe par elle-m eme ?? en amont ? de ces coe ?cients un tenseur Le mot tenseur vient donc bien de l ? id ?ee d ? exprimer entre autre des sortes de tensions des contraintes etc Mais la notion de tenseur se r ?ev ele Cd ? une grande g ?en ?eralit ?e avec des applications dans bien d ? autres domaines que la seule m ?ecanique des milieux continus ?electromagn ?etisme relativit ?e g ?eom ?etrie di ? ?erentielle Remarque Un scalaire un vecteur une forme lin ?eaire une forme bilin ?eaire une application lin ?eaire sont nous le verrons des tenseurs particuliers Dans ce cours on a choisi de prendre pour scalaires le corps des r ?eels R aussi les espaces vectoriels consid ?er ?es seront tous r ?eels Cela dit les choses ne seraient pas fondamentalement di ? ?erentes pour un autre corps en particulier C Le principe de construction des