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Exercices corriges convolution

UNIVERSITE DE LA ROCHELLE - IUP GI IUP ?? Module Acquisition et Traitement du Signal - TD n ?? Convolution et Corrélation Eléments de CORRIGE Exercice Soit le signal échelon f t E U t d ? amplitude E Représenter graphiquement et calculer le produit de convolution de f t par lui- même autoconvolution SOLUTION Pas de problème particulier Si t il n'y a pas de recouvrement Si t il y a recouvrement entre et t On obtient ? f f ? E U t E U t ?? d ?? ? F F F F F F E pour t pour t f f t Exercice On dé ?nit la fonction Rect par f t Rect t F F F F F F si t ?? ?? sinon Ainsi pour un rectangle centré sur t centre ? de hauteur et d ? une largeur donnée par largeur ? on utilisera la notation Rect t ?? centre largeur Soit les fonctions f et g dé ?nies par f t Rect t- Rect t- g t Rect t Trouver la convolution f g SOLUTION Cla convolution f t g t g t f t on a le choix de déplacer n ? importe quelle fonction par rapport à l ? autre Il est plus évident de déplacer g t par rapport à f t Le produit g t- f est nul pour t - donc le produit de convolution est nul sur cet intervalle Pour - fonction g t- et la fonction f le produit de convolution est t ? d t t t Pour fonction g t- mais la fonction f est dé ?nie di ?éremment sur deux parties de l ? intervalle de chevauchement f pour et pour donc le produit simple doit être évalué aussi par intervalle et le produit de convolution est par conséquence somme de deux intégrales t ? d ? d t ?? t ? Pour fonction g t- mais la fonction f est dé ?nie di ?éremment sur deux parties de l ? intervalle de chevauchement donc le produit simple doit être évalué aussi par intervalle et le produit de convolution est par conséquence somme de deux intégrales t ? d ? d ?? t ?? t ?? ?? t t ?? t t ?? Pour Le produit est nul pour t donc le produit de convolution est nul sur cet intervalle En ?n le produit de convolution est pour t - t pour - d ? o? la représentation graphique de la convolution Exercice Soit les fonctions f et g dé ?nies par Cf t F F F F F F t pour t ailleurs g t U t Donner les expressions analytiques de la convolution dans les régions de dé ?nition Le produit de convolution est nul pour la région t Quand t dépasse zéro nous devons considérer la région La convolution dans cette région est ? ? t f t ?? U t t ?? d t t ?? t t