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Cours elasticite chapitre i

Elasticité ?? Chapitre I ?? Rappels Mathématiques et Notations Chapitre I RAPPELS MATHEMATIQUES ET NOTATIONS I- Notation Indicielle I- - Convention de sommation Soit ? é ? Règle Chaque fois que dans un terme d ? une expression un indice est répété il convient de faire varier cet indice de à la dimension de l ? espace ici à et de faire la somme des termes ainsi obtenus Un tel indice est appelé indice muet ou indice de sommation Soit maintenant la matrice suivante Et soit le vecteur tel que Ses composantes sont donc ? ? à è ? ? à è ? ? à è Par une autre règle ces trois dernières équations peuvent s ? écrire sous la forme compactée suivante o? ici l ? indice i apparait une seule fois dans chaque terme de l ? égalité Cette deuxième règle s ? énonce alors comme suit Règle Si dans un terme un indice apparait une seule fois alors ce terme prend autant de valeurs que de dimensions de l ? espace utilisée par exemple valeurs distinctes dans l ? espace D Un tel indice est appelé indice libre Donc pour la relation on a pour le terme les valeurs et et pour le terme les valeurs et Ce qui donne pour chacune des valeurs de cet indice libre i les équations suivantes idem Remarque Tout d ? abord on dira qu ? un terme est représenté par des produits et que deux ou plusieurs termes dans une expression mathématique sont séparés par les opérateurs d ? addition et ou de soustraction Les termes d ? une même expression mathématique équations composantes de vecteurs etc doivent avoir les mêmes indices libres Donner des noms di ?érents aux indices libres et aux indices muets Un indice ne peut apparaitre plus de deux fois dans un terme Les deux règles citées ci-dessus représentent la convention dite convention d ? Einstein D Nedjar G Civil USTO CElasticité ?? Chapitre I ?? Rappels Mathématiques et Notations I- - Symbole de Kronecker On note ce symbole par la lettre grecque à deux indices avec les propriétés suivantes Moyennant cette dé ?nition on constatera que cette notation indicielle se représente sous forme matricielle par la matrice identité bien connue ?? I- - Symbole de Permutation dit de Levi-Civita ou d ? antisymétrie On note ce symbole par la lettre grecque à trois indices avec les propriétés suivantes é é Remarque On démontre que les symboles de Kronecker et de permutation sont reliés par l ? expression suivante Et on peut montrer gr? ce à cette relation que I- - Notation de dérivation Soit la fonction scalaire On remplace par convention de notation ce qui suit Donc par convention la notation correspond à une di ?érentiation de la fonction F par rapport à la variable Ainsi en utilisant la convention d ? Einstein la forme mathématique dite di ?érentielle totale s ? écrit I- Calcul Fonctionnel I- - Produit scalaire Le produit scalaire de deux