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Cours geometrie ch3 Int ?egrales multiples curvilignes et de surface Int ?egrale de Riemann des fonctions d ? une variable Soit f R ? ? R une fonction d ?e ?nie sur un intervalle ferm ?e et born ?e compact ra bs D ?e ?nition Une subdivision de ra bs est u

Int ?egrales multiples curvilignes et de surface Int ?egrale de Riemann des fonctions d ? une variable Soit f R ? ? R une fonction d ?e ?nie sur un intervalle ferm ?e et born ?e compact ra bs D ?e ?nition Une subdivision de ra bs est une partition de l ? intervalle I ?? ra bs en n intervalles Ii ?? rai ? ais pour i ?? n de longueur ? ?? b ? n a avec a ?? a et an ?? b a ?? a ?? a ?? a ?? a ?? a ?? a ?? ? ? ? a ??n ?? b ? R On peut identi ?er la subdivision avec l ? ensemble ?n ?? a a an a ?? a ? a ? ? ? ? ? an ?? b ai ? ai ? ?? ? ?? b ? n a D ?e ?nition Soit ?n une subdivision ?x ?ee de l ? intervalle ra bs Pour tout choix de n points xi P Ii i ?? n on appelle somme de Riemann de f associ ?ee a la subdivision ?n et aux points txiu la somme ? n Rnpf txiuq ?? f pxiq pai ? ai ? q f i ?? ou chaque terme f pxiq ? repr ?esente l ? aire a ?? ??b x alg ?ebrique du rectangle de base Ii et hauteur f pxiq Ici ??alg ?ebrique ? signi ?e avec un signe n ?egatif positif n ?egatif qui d ?epend du signe de f pxiq D ?e ?nition On dit que la fonction f ra bs ? ? R est int ?egrable sur ra bs selon Riemann si en faisant varier la subdivision ?n de ra bs et les points xi P Ii il existe la limite lim n? Rnpf txi uq elle est ?nie et elle ne d ?epend pas du choix des points xi P Ii Dans ce cas on appelle int ?egrale de Riemann de f sur ra bs cette limite ?b ?a a f pxq dx ?? ?b lim n? Rnpf txiuq On pose aussi pour a ? b f pxq dx ?? ? f pxq dx b a Proposition Signi ?cation g ?eom ?etrique de l ? int ?egrale simple Soit f une fonction Riemann- int ?egrable sur ra bs Alors ?b f f f ?? f f f pxq dx ?? aire ??alg ?ebrique ? sous le graphe de f ?ab f pxq dx ?? aire sous le graphe de f a n ?egatif positif x n ?egatif Preuve E ?vident d ? apr es la d ?e ?nition l CRemarque La condition que la limite lim n? Rnpf txi uq soit ind ?ependente du choix des points xi P Ii est essentielle pour obtenir une notion d ? int ?egrale qui donne l ? aire sous le graphe de f Par exemple la fonction de Dirichlet f pxq ?? si x P Q si x P RzQ a un graphe compl