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Cours arithmetique des entiers relatifs 2

c Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI Arithmétique des entiers relatifs Division dans Z Relation de divisibilité Dé ?nition Divisibilité diviseur multiple Soient a b ?? Z On dit que a divise b ou que a est un diviseur de b ou que b est divisible par a ou que b est un multiple de a s ? il existe k ?? Z tel que b ak Cette relation se note a b Théorème Propriétés de la relation de divisibilité Soient a b c d ?? Z i La relation de divisibilité est une relation d ? ordre sur N mais elle est seulement ré exive et transitive sur Z car a b et b a ? ?? a b ? ?? a b ou a ??b ii Si d a et si d b alors d au bv pour tous u v ?? Z iii Si a b et si c d alors ac bd En particulier si a b alors ak bk pour tout k ?? N Explication Dans ce chapitre entièrement dévolu à la relation de divisibilité toute expression comme plus grand ? ou minorant ? est à comprendre au sens de la divisibilité sur N et non au sens de la relation Ces deux relations ne sont pas sans lien cela dit gardez bien en tête que pour tous a b ?? N ? ?? on exclut attention a b ?? a b Démonstration i Si a b et b a alors b ak et a bl pour certains k l ?? Z donc b bkl ?? Si b alors a bl donc a b ?? Si b alors kl donc soit k l soit k l ?? i e soit a b soit a ??b i e a b ii Si d a et d b alors a dk et b dl pour certains k l ?? Z donc au bv d ku vl avec ku vl ?? Z pour tous u v ?? Z donc en ?n d au bv iii Si a b et c d alors b ak et d cl pour certains k l ?? Z donc bd ac kl avec kl ?? Z bref ac bd Dé ?nition Diviseur multiple commun Soient a ar ?? Z ? On appelle diviseur commun de a ar tout entier relatif qui divise à la fois a ar ? On appelle multiple commun de a ar tout entier relatif divisible à la fois par a ar Explication Dans le cas o? a ar sont positifs alors au sens de la divisibilité qui est une relation d ? ordre ?? les diviseurs communs positifs de a ar sont exactement les minorants de a ar ?? les multiples communs positifs de a ar sont exactement les majorants de a ar Exemple Les diviseurs positifs de sont et ceux de sont et Leurs diviseurs communs positifs sont donc et Leurs multiples communs sont tous les multiples de ?? ce que nous ne chercherons pas à justi ?er