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Theoreme de double inclusion sur les ensembles de mandelbrot generalises

THEOREME DE DOUBLE INCLUSION SUR LES ENSEMBLES DE MANDELBROT GENERALISES We establish a theorem of double inclusion on the generalized Man- delbrot sets that we note Mm with m ?? R and m ? exteanding thus the result of F V Haeseler m and one of J H Hubbard m ? Introduction On note D r z ?? C z ? r r ?? R et ? la sphère de Riemann C ?? ? Pour tout c ?? C on note fc l'application z ? z c de ? dans elle-même et Kc z ?? C fcn z ? en notant f n l'itérée f f f f La frontière de Kc est l'ensemble de Julia de fc G Julia et P Fatou on montré que si ?? Kc l'ensemble Kc est connexe sinon il est homéomorphe à l'ensemble de Cantor On note M l'ensemble de Mandelbrot l'ensemble des c ?? C tels que ?? Kc A Douady et J H Hubbard ont C démontré que M était connexe En utilisant une autre caractéristisation a n d'appliquer le théorème de L de Branges ancienne conjecture de Bieberbach F V Haeseler à montré que M ? D Cependant c'est la première caractérisation de M que nous allons utiliser elle est mentionnée par exemple dans l'article de P Blanchard M c ?? C fcn ? lorsque n ? ? A l'aide de cette caractérisation nous allons étendre le résultat de Haeseler et ce de façon élémentaire aux ensembles de Mandelbrot C généralisés Mm dé nis par Mm c ?? C zn Fcn m ? lorsque n ? ? avec Fc m l'application z ? zm c m ?? R et m ? C C Pour cette dé nition voir par exemple l'article de Papathomas et Julesz C La dé nition est choisie de façon à généraliser les résultats obtenus sur R Les théorèmes que nous établissons ne dépendent pas du choix de la C dé nition de l'argument de z Comme l'on a trivialement M D nous étudierons Mm pour m Le théorème de Hubbard M ? D en B topologie de Hausdor sera démontré en corollaire après la démonstration du théorème de double inclusion Théorème A m D mi i ??m ?? m ??i ? Mm Démonstration Nous allons utiliser le lemme suivant qui assurera au théorème son caractère optimal Lemme a mi i ??m ?? C m ??i est le plus grand réel qui véri e la propriété m ??x ?? R xm ?? x a Démonstration On voit facilement que a ?? s'il existe Or c'est le cas puisque la fonction xm ?? x est dérivable sur R en particulier sur elle atteint une valeur extrémale lorsque sa dérivée s'annule Celleci s'annule en mi i ??m et comme xm ?? x pour x ?? on a donc a mi i ??m ?? m ??i Démontrons à présent le lemme suivant par récurrence Lemme m zi ? mi i ??m ?? m ??i ? ??n ?? N ? zn ?