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Masterpro final 2005 correction

Examen Final ?? Cryptographie jeudi janvier Correction Exercice Alice change sa cl ?e RSA tous les jours Bob lui change sa cl ?e tous les jours Sachant qu ? Alice change sa cl ?e aujourd ? hui et que Bob a chang ?e sa cl ?e il y a trois jours d ?eterminer quand sera la prochaine fois qu ? Alice et Bob changeront leur cl ?e le m eme jour Solution Notons d le nombre de jours jusqu ? a ce que Alice et Bob changent leur cl ?e le m eme jour Puisque Alice change sa cl ?e tous les jours et qu ? elle a chang ?e sa cl ?e aujourd ? hui d doit etre divisible par Puisque Bob change sa cl ?e tous les jours et qu ? il a chang ?e sa cl ?e il y a trois jours d doit etre divisible par Ainsi d doit v ?eri ?er le systeme de congruences d ?? mod d ?? ?? mod Par le th ?eoreme des restes chinois ce systeme ?equivaut a la congruence d ?? mod et donc Alice et Bob changeront leurs cl ?es le m eme jour dans jours Exercice Bob utilise le protocole RSA et publie sa cl ?e publique N et e Encoder le message m avec la cl ?e publique de Bob En utilisant le fait que N retrouver la factorisation de N puis la cl ?e priv ?ee de Bob Solution Le message cod ?e est c mod C Ecrivons N pq On a donc N p ?? q ?? pq ??p ??q N ?? p q et ainsi p q N ?? N ?? Les nombres p et q sont racines du polyn ome X ?? p q X pq X ?? X Le discriminant est ?? ? et ainsi p ?? et q Exercice Soient p et q deux nombres premiers impairs tels que p ?? mod et q ?? mod On pose N pq Montrer que ?? N ?? N On suppose de plus que N ?? mod En d ?eduire que ou bien est un carr ?e modulo p et n ? est pas un carr ?e modulo q ou bien n ? est pas un carr ?e modulo p et est un carr ?e modulo q Solution Par la loi de r ?eciprocit ?e quadratique on a ?? N ?? pq N N pq et comme pq ?? mod N on trouve que d ? ou le r ?esultat N On a N ?? ?? mod et ainsi N ?? ?? mod Par la question il suit que ?? Puisque on trouve que ou bien et N N pq p ?? d ? ou est un carr ?e modulo p mais pas modulo q ou bien ?? q p et d ? ou est un carr ?e modulo q mais pas modulo p q Exercice Bob et Bob ont pour cl ?e publique RSA respectivement N e et N e avec e