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Its a 2019 corriges INSTITUT SOUS -RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ? ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA-YAOUNDÉ ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L ? ANALYSE ÉCONOMIQUE ENSAE-DAKAR AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS voie A PREMIÈRE COMPOSITIO

INSTITUT SOUS -RÉGIONAL DE STATISTIQUE ET D ? ÉCONOMIE APPLIQUÉE ISSEA-YAOUNDÉ ÉCOLE NATIONALE DE LA STATISTIQUE ET DE L ? ANALYSE ÉCONOMIQUE ENSAE-DAKAR AVRIL CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS voie A PREMIÈRE COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES Durée de l ? épreuve heures Attention L ? exercice de la présente épreuve est obligatoire et toute note strictement inférieure à à cet exercice est éliminatoire chaque question de l ? exercice étant notée sur point Toutefois cet exercice n ? entre que pour un cinquième dans la note ?nale de cette première épreuve de mathématiques Dans tous les exercices R désigne l ? ensemble des nombres réels et ln le logarithme népérien On rappelle l ? égalité pour tout entier k ? k i k k k i Exercice dx Calculer sous la forme la plus simple possible x ln x Il vient directement que dx ln ln ?? ln ln x ln x ln ln ?? ln ln ln ln ln ?? ln ln ln Cln x ?? Donner le domaine de dé ?nition et la dérivée de la fonction f x ln x f est dé ?nie sur e ?? e ? et pour tout x de son domaine de dé ?nition f x x ln x x ?? Donner la limite en ? de la fonction f x e x Quand x ? ? x ?? x ? ? et donc f x ? ? Donner la limite en x de la fonction de la question précédente Quand x ? x ?? x ? ?? ? et donc f x ? ?? Ecrire le nombre complexe z ?? i sous forme trigonométrique z cos ?? ? sin ?? ? Si on vous demande d ? étudier les variations de la fonction sin x f x cos x expliquer quel intervalle d ? étude vous choisissez et comment vous étendez vos résultats à l ? ensemble du domaine de dé ?nition de f f est de période ? et impaire Il su ?t donc de l ? étudier sur l ? intervalle ? d ? en déduire par parité l ? étude sur ?? ? puis de compléter par ? périodicité à l ? ensemble de dé ?nition de f c ? est-à-dire R privé des points de la forme ? k ? avec k entier Un sac contient dix boules numérotées de à On sort trois boules simultanément Donner la probabilité pour que le numéro d ? au moins une de ces boules soit un multiple de Il existe ? ? tirages possibles de de ces boules Comme les boules et sont les seules dont le numéro est un multiple de il reste boules dont les numéros ne sont pas des multiples de et donc ? ? tirages possibles de boules parmi ces La probabilité qu ? au moins une des boules tirées soit un multiple de est donc p ?? ?? Etudier la convergence de la suite dé ?nie par un n ?? n ?? n En multipliant