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Ds1 corrige 4 Lycée Jules Ferry PTSI ?? Mathématiques Corrigé du devoir surveillé no Exercice On a pour tout réel x d ? après les formules de factorisation sin x cos x sin x sin x On en déduit par linéarité de l ? intégrale que ? ? ? cos x sin x dx sin x

Lycée Jules Ferry PTSI ?? Mathématiques Corrigé du devoir surveillé no Exercice On a pour tout réel x d ? après les formules de factorisation sin x cos x sin x sin x On en déduit par linéarité de l ? intégrale que ? ? ? cos x sin x dx sin x dx sin x dx ?? cos x ? ? ?? cos x ?? ?? ? ?? cos x sin x dx ?? ? sin x ? ? Par dé ?nition tan x et ceci a un sens pour tout x ?? ? cos x ? La fonction x ? tan x est dérivable sur son ensemble de dé ?nition en tant que quotient de telles fonctions de dérivée cos x sin x tan x ?? ? cos x cos x ? ? On pose f x ?? ? tan x ?? x La fonction f est dé ?nie et dérivable sur en tant que di ?érence de telles fonctions et ? ?? cos x sin x pour tout x ?? f x cos x ?? cos x cos x avec égalité seulement en x La fonction f est donc strictement croissante ? sur avec f tan ?? Ainsi ? pour tout x ?? f x ? ? ?? pour tout x ?? tan x ?? x ? ? ?? pour tout x ?? tan x x Exercice cos a cos b cos a b cos a ?? b cos a b cos a cos b ?? sin a sin b sin a sin a cos a et cos a cos a ?? Soit x ?? R La première formule ci-dessus avec a x et b x donne x x x ?? x x x cos x cos x cos cos cos cos On résout alors l ? équation x x cos x cos x ? ?? cos cos x x ? ?? cos ou cos x ? x ? ? ?? il existe k ?? Z tel que k ? ou k ? ? k ? ? ?? il existe k ?? Z tel que x ou x ? k ? La deuxième condition ci-dessus entra? ne la première car si x ? k ? avec k ?? Z alors x ? ? k ? ? ? k ? ? k ? ??Z L ? ensemble des solutions de E est donc ? k ? k ?? Z Les solutions dans ? sont celles correspondant à k donc ? ? ? ? ? que l ? on représente sur le cercle trigonométrique ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C Les formules d ? addition puis de duplucation donnent cos x cos x x cos x cos x ?? sin x sin x cos x ?? cos x ?? cos x sin x cos x ?? cos x ?? cos x ?? cos x cos x ?? cos x ?? cos x cos x cos x ?? cos x On obtient alors