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Corrige 19 EPFL Algèbre linéaire ère année - Corrigé de la série Correction exercice Montrons que W ? W ? ? Soit w ?? W comme ??x ?? W ? x w on a w ?? W ? ? De plus dim W ? ? dim V ?? dim W ? dim V ?? dim V ?? dim W dim W D

EPFL Algèbre linéaire ère année - Corrigé de la série Correction exercice Montrons que W ? W ? ? Soit w ?? W comme ??x ?? W ? x w on a w ?? W ? ? De plus dim W ? ? dim V ?? dim W ? dim V ?? dim V ?? dim W dim W D ? o? l ? égalité Correction exercice Soit f fn une base de F que l ? on complète par les vecteurs e ek de E pour obtenir une base de E D ? après le procédé d ? orthonormalisation de Gram-Schmidt il existe une base orthonormée de F f fn telle que ??j ?? n Span f fj Span f fj En appliquant le procédé d ? orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base f fn e ep de E on obtient une base orthonormée de E f fn e ep telle que ??j ?? n Span f fj Span f fj et ??p ?? k Span f fn e ep Span f fn e ep La base orthonormée f fn de F est donc incluse dans la base orthonormée f fn e ep de E Correction exercice La réponse est non une matrice diagonalisable n ? admet pas forcément une base orthonormée de vecteurs propres comme le montre l ? exemple suivant Soit T R ? R telle que T et T Dans la base B de R on a T B Si on orthonormalise cette base de vecteurs propres pas le procédé de Gram- Schmidt on obtient f et f mais f n ? est pas un vecteur propre de T car T f T ?? ?? f f Correction exercice Nous allons montrer le résultat suivant équivalent à celui de l ? énoncé les colonnes de A sont linéairement dépendantes si et seulement si AtA n ? est pas inversible Soit vi la i-ième colonne de A ? i ? n On considère vi comme vecteur colonne dans Rm Supposons que v vn est linéairement dépendante Alors il existe b bn ?? R non tous nuls tels que b v bnvn Autrement dit F EBF F b A F EC F ED F F F F bn COn pose b b bn t ?? Rn Alors AtAb At Puisque b AtA n ? est pas inversible Réciproquement supposons que AtA n ? est pas inversible En particulier elle n ? est pas injective Alors il existe u ?? Rn u tel que AtAu Donc AtAu u Au Au Alors Au puisqu ? un produit scalaire est dé ?ni positif Donc les colonnes de A ne sont pas linéairement indépendantes Correction exercice On applique le procédé d ? orthonormalisation de Gram-Schmidt à la base t de P R On considère le vecteur On a d ? o? P ?? En posant E Span P on a P t t ?? ?? pE t pE t ?? On montre que pE t et t d ? o? P ??