Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Controle 1 corrige Universit ?e Cadi Ayyad Facult ?e des Sciences Semlalia Marrakech Ann ?ee Universitaire - D ?epartement de Math ?ematiques SMA-S Contro le de Topologie Dur ?ee h Question de cours D ?emontrer le th ?eor eme de Heine suivant Soit E d et

Universit ?e Cadi Ayyad Facult ?e des Sciences Semlalia Marrakech Ann ?ee Universitaire - D ?epartement de Math ?ematiques SMA-S Contro le de Topologie Dur ?ee h Question de cours D ?emontrer le th ?eor eme de Heine suivant Soit E d et F ? deux espaces m ?etriques Si E est compact alors toute fonction continue de E dans F est uniform ?ement continue sur E Exercice Soit f une application d ? un ensemble X dans un espace m ?etrique complet Y ? Pour tout x x ?? X on pose d x x ? f x f x a Donner une condition n ?ecessaire et su ?sante sur f pour que d soit une m ?etrique sur X b On suppose que X d espace m ?etrique Montrer que X est complet si et seulement si f X est un ferm ?e de Y Exercice Soit E d un espace m ?etrique a Soit A un ouvert de E et B une partie quelconque de E Montrer que A ?? B ? A ?? B b Soient D et D deux parties denses dans E Montrer que si D est un ouvert de E alors l ? intersection D ?? D est dense dans E Exercice Soit f E ? F une application d ? un espace m ?etrique compact E dans un evn F On suppose que pour tout x ?? E il existe un voisinage Vx de x sur lequel f est born ?ee on dit alors que f est localement born ?ee Montrer que la fonction f est born ?ee sur E R Exercice Soit E C muni de la norme N f f ? f ? a Montrer que les normes N et ? ne sont pas ?equivalentes b Montrer que E N est complet Exercice a Montrer que dans un espace m ?etrique E si une suite an ? a ?? E alors N l ? ensemble K an n ?? ?? a est une partie compacte de E exosup com page facebook C Contro le Topologie - b Applications Soit X d et Y ? deux espaces m ?etriques i Soit fn une suite d ? applications continues de X dans Y On suppose qu ? il existe une application f X ? Y telle que pour tout compact K de X on a sup ? fn a f a ? a ??K quand n ? ? Montrer que l ? application f est continue sur X ii Soit g X ? Y une application continue telle que pour tout compact K de Y l ? image r ?eciproque g ?? K est un compact de X Montrer que l ? application g est ferm ?ee c ? est a dire l ? image de tout ferm ?e F de X est un ferm ?e de Y Exercice Soit K un compact convexe non vide d ? un evn E Soit f K ? K ??lipschitzienne On ?xe a ?? K