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Ds08 ? Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Devoir surveillé n La présentation la lisibilité l ? orthographe la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies On prend

? Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Devoir surveillé n La présentation la lisibilité l ? orthographe la qualité de la rédaction et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l ? appréciation des copies On prendra le temps de véri ?er les résultats dans la mesure du possible Les calculatrices sont interdites Problème ?? Partie I ?? Notons E le R-espace vectoriel des applications de R dans R de classe C ? et D f ?? E ? f ?? Il est clair que D est un endomorphisme de E Déterminer le noyau et l ? image de D On considère les trois fonctions f t ?? R ? et ?? f t ?? R ? e ??t sin t ?? f t ?? R ? e ??t cos t Nous noterons B f f f et G le sous-espace vectoriel de E engendré par B Nous allons montrer que B est une famille libre de vecteurs de E Soient a b et c des réels tels que af bf cf soit la fonction nulle L ? étudiante Antoinette observe que af t bf t cf t pour tout réel t Elle choisit adroitement trois valeurs de t obtient un système de trois équations à trois inconnues a b et c qu ? elle résout il ne lui reste plus qu ? à conclure Faites comme elle L ? étudiante Lucie propose d ? exploiter le développement limité à l ? ordre de la fonction af bf cf au voisinage de Faites comme elle L ? étudiante Nicole décide de s ? intéresser au comportement de af bf cf au voisinage de ? Faites comme elle La famille B est donc une base de G et ce sous-espace est de dimension Montrer que G est stable par D c ? est-à-dire que D G ? G Nous noterons D ?? l ? endomorphisme de G induit par D c ? est-à-dire l ? endomorphisme de G dé ?ni par D ?? f D f pour f ?? G Montrer que D ?? IdG En déduire que D ?? est un automorphisme de G et exprimer D ?? ?? en fonction de D ?? http lgarcin github io C ? Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Partie II ?? Nous nous intéressons dans cette partie à l ? équation di ?érentielle y ?? ?? ?? y que nous noterons E Une solution sur R de E est une fonction dé ?nie sur R à valeurs dans R trois fois dérivable sur R véri ?ant f ?? ?? ?? t f t pour tout t ?? R Montrer que toute solution f de E est C ? Notons T D ?? IdE o? IdE est l ? identité de E et D D D D Le noyau de T est donc l ? ensemble des solutions de E Montrer que G est contenu dans le noyau de T Nous allons établir l ? inclusion inverse ainsi G sera