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Chapitre 3 sous groupes distingues et groupe quotient

Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Sous-groupes distingués et groupe quotient L'Moufadal Ben Yakoub Université Abdelmalek Essa? di Faculté des Sciences Département de Mathématiques Tétouan Maroc E-mail benyakoub hotmail com L Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient CPlan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct L Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient CPlan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Plan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct L Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient CPlan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Notion de sous-groupe normal C Dé nition Soient g et g deux éléments d'un groupe G On dit que g et g sont conjugués lorsqu'il existe un élément x ?? G tel que g xgx ?? La relation de conjugaison est une relation d'équivalence et la classe d'équivalence de g ?? G noté cl g xgx ?? x ?? G est appelée la classe de conjugaison de g Si G est abélien on a cl g g pour tout g ?? G Rappelons aussi que les classes de conjugaison forment une partition de G Notation Soit H sous- groupe de G pour tout x ?? G on note xHx ?? xhx ?? h ?? H l'image de H par l'automorphisme intérieur ?x c'est un sous-groupe de G Si G est abélien on a xhx ?? h pour tous x ?? G et h ?? H L Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient CPlan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct C Dé nition Soit H un sous-groupe de G On dit que H est normal ou distingué dans G lorsque xHx ?? H pour tout x ?? G On note alors H G et on a H G B ?? xhx ?? ?? H pour tout h ?? H et x ?? G En e et supposons que xHx ?? ? H pour tout x ?? G Pour tout h ?? H on a h x x ?? hx x ?? ?? xHx ?? car x ?? hx ?? H ce qui prouve que H ? xHx ?? Exemples Pour tout groupe G les sous-groupes e Z G et G sont normaux dans G Pour tout morphisme f d'un groupe G dans un groupe G le noyau Ker f est un sous-groupe normal dans G Par exemple An Sn et Int G Aut G L Ben Yakoub Sous-groupes distingués et groupe quotient CPlan Sous-groupes distingués Quotient d'un groupe par un sous-groupe normal Théorèmes d'isomorphismes pour les groupes Produit semi-direct Remarques Si pour tout h ?? H et x ?? G