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Tipe Cha? nes de Markov et ?les d ? attente Guillaume Matheron Table des matières Introduction Cha? nes de Markov en temps discret Généralités Dé ?nition d ? une cha? ne de Markov en temps discret Matrice de transition Utilisation de la matrice de transit

Cha? nes de Markov et ?les d ? attente Guillaume Matheron Table des matières Introduction Cha? nes de Markov en temps discret Généralités Dé ?nition d ? une cha? ne de Markov en temps discret Matrice de transition Utilisation de la matrice de transition Représentation en tant que graphe Itération de la matrice de transition Propriétés Mesure invariante Étude de la vitesse de convergence File d ? attente M M Vitesse de convergence Calcul des valeurs propres de P Applications Convergence vers une distribution d ? équilibre pour une ?le non limitée Etude d ? un mouvement brownien avec perturbation Conclusion C Introduction Les cha? nes de Markov sont un outil mathématique permettant de modéliser l ? évolution d ? un système dont l ? état au temps t ne dépend que de son état au temps t et possédant un nombre ?ni d ? états À chaque étape le système évolue en changeant d ? état Les probabilités de passer à chaque état au temps t à partir d ? un état donné au temps t peuvent être regroupées sous forme d ? une matrice carrée dont les propriétés algébriques nous renseignent sur l ? évolution du système Ce document s ? intéresse à l ? étude de l ? évolution des systèmes à partir de leur matrice de transition En particulier on énoncera une condition su ?sante de convergence et une majoration de la vitesse de convergence dans ce cas On s ? intéressera aux cas limite o? l ? intervalle de temps entre deux étapes de la simulation tend vers ou lorsque le nombre d ? états tend vers l ? in ?ni Cha? nes de Markov en temps discret Généralités Dé ?nition d ? une cha? ne de Markov en temps discret Dé ?nition Soit Xn n ??N une famille de variables aléatoires à valeurs dans E un ensemble ?ni Cette famille est une cha? ne de Markov si elle véri ?e la propriété de Markov pour tout entier n ?? N ? pour tout couple y z de suites à valeurs dans E dé ?nies sur n ?? on a l ? égalité P Xn j Xn i ??k ?? n ?? Xk yk P Xn j Xn i ??k ?? n ?? Xk zk Autrement dit la valeur de la variable Xn ne dépend que de la valeur de la variable Xn ?? et pas de tous ses états antécédents On écrit alors plus simplement la probabilité de transition d ? un état au suivant ainsi P Xn j Xn i Cha? ne de Markov homogène Une cha? ne de Markov est dite homogène si elle véri ?e la propriété suivante ??n ?? N P Xn j Xn i P X j X i Autrement dit une cha? ne est homogène si la probabilité de transition d ? un état à l ? autre ne dépend pas de l ? indice de la variable concernée mais uniquement de sa valeur l ? évolution du