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Psycho slides stat l3 s6 StatL S Statistique appliquée à la psychologie L Christian Lavergne Université Paul Valéry - Montpellier http moodle-miap univ-montp fr http www univ-montp fr miap ens Année universitaire - UPV StatL S CStatL S Chapitre Lois limit

StatL S Statistique appliquée à la psychologie L Christian Lavergne Université Paul Valéry - Montpellier http moodle-miap univ-montp fr http www univ-montp fr miap ens Année universitaire - UPV StatL S CStatL S Chapitre Lois limites de la Statistique et Estimation Loi des grands nombres et estimation ponctuelle Théorème central limite et estimation par intervalle UPV StatL S CLoi des grands nombres et estimation ponctuelle Soient X X Xn n variables aléatoires indépendantes associées aux répétitions d ? une même expérience aléatoire X telle que E X alors La moyenne des observations est aussi proche que possible de la vraie valeur à condition que n soit grand UPV X n n Xi n ?grand i StatL S CExemple Un jeu de la Française des jeux Exemple personnes A et B jouent au dé à faces et on propose les gains suivants Si le résultat est la face B paie euros à A sinon A paie euros à B À chaque coup quelle est l ? espérance de gain de A P A gagne et P A perd donc A a pour espérance de gain ? ?? ? euros À chaque coup A gagne ou perd et son espérance de gain est de Donc si A joue un très grand nombre de fois A est sûr de gagner UPV StatL S CLa loi des grands nombres jeu du dé UPV StatL S CLa loi des grands nombres jeu du dé UPV StatL S C n Propriété de la moyenne X n Xi i de n répétitions indépendantes X X Xn d ? une même expérience aléatoire X telle que E X et V X ? ? son espérance mathématique E X ? sa variance ? son écart-type ? V X n ? ? X ?? n La dispersion de la moyenne se réduit quand n grandit c ? est la loi des grands nombres UPV StatL S CEstimation ponctuelle La moyenne X n n Xi est donc un bon prétendant pour approcher le i paramètre inconnu ? La variable aléatoire X sera appelée l ? Estimateur du paramètre notation X ? Au vu d ? observations la valeur prise par X et notée x sera appelée une estimation du paramètre notée aussi ? En pratique il y a UN voir deux ou trois Estimateur naturel du paramètre inconnu mais il y a toujours une in ?nité d ? estimations possible de ce paramètre X X Xn sont n répétitions indépendantes d ? une même expérience aléatoire X telle que E X et V X ? UPV StatL S CForme générale et propriétés Soient X X Xn n répétitions d ? une expérience aléatoire et Tn une combinaison ou fonction de ces répétitions Tn sera un bon prétendant pour approcher un paramètre inconnu donc un Estimateur raisonnable de Tn sera un si L ? espérance mathématique de l ? estimateur est aussi proche que possible du paramètre inconnu idéalement on souhaite que E Tn et on dira que Tn est un estimateur