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Locale Lycée Lakanal MP Étude locale des suites et des fonctions - Exercice Classer par ordre de prépondérance décroissante au voisinage de ? les fonctions ? suivantes x x x x x ln x x ln x x ln x x ln x Exercice Soit f g deux fonctions réelles dé ?nies a

Lycée Lakanal MP Étude locale des suites et des fonctions - Exercice Classer par ordre de prépondérance décroissante au voisinage de ? les fonctions ? suivantes x x x x x ln x x ln x x ln x x ln x Exercice Soit f g deux fonctions réelles dé ?nies au voisinage d ? un point a On suppose que f ?? ? ? que g et que f o g au voisinage de a a Montrer que ef o eg au voisinage de a Que se passe-t-il si l ? on oublie l ? une des deux premières hypothèses Exercice Justi ?er l ? existence et donner la valeur de la limite ? de ln sin x ?? ln x quand x tend vers ?? ?? cos x e x sin x ?? e ? de ?? quand x tend vers shx ?? x x ? de x x x quand x tend vers et plus généralement de a x apx p x quand x tend vers a ap donnés ? de sin x tan x quand x tend vers puis ? ln x x ? de ln x ?? quand x tend vers ? ln x ? de x x ?? ?? x x quand x tend vers ? Exercice xn Soit x ?? R quelle est la limite de n quand n tend vers ? n Donner un équivalent simple de e ?? quand n tend vers ? n ?? ?? n n ?? n Quelle est la limite de xn e ?? n quand n tend vers ? xn Soit x ?? C étudier la limite de n quand n tend vers ? On pourra écrire x a ib avec a et b réels ax cx Exercice Trouver a b c ?? R tels que f x tan x ?? cx soit un in ?niment petit d ? ordre le plus élevé possible au voisinage de Donner alors un équivalent de f x au voisinage de Exercice Trouver a b ?? R tel que un sin négligeable devant n n b ?? a ?? soit n n Exercice Soit a ?? R ? Trouver un développement asymptotique de un ln ?? n ?? n ?? ln ?? n a avec o n comme reste Exercice Donner un équivalent simple de Arccos x quand x tend vers ?? On pourra se souvenir que au voisinage de t ?? sin t En déduire la limite quand n tend vers ? de un n Arccos n tan n Exercice Donner un équivalent simple de un Arccos ?? n ?? Arccos ?? n et vn eArctan n ?? n ?? e ? quand n tend vers ? Exercice Donner un développement limité x d ? ordre de en tan x d ? ordre de ln ch x au voisinage de ?? d ? ordre de f x ?? ? x au voisinage de En déduire l ? allure du graphe de cette fonction au voisinage de d ? ordre