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Exemple I U F M Académie de Montpellier Site de Montpellier SEGOUAT Ga? lle Exemples contre-exemples et preuves Contexte du mémoire Discipline concernée Mathématiques Classe concernée Seconde Lycée Polyvalent Mas de Tesse Montpellier Tuteur du mémoire Fre

I U F M Académie de Montpellier Site de Montpellier SEGOUAT Ga? lle Exemples contre-exemples et preuves Contexte du mémoire Discipline concernée Mathématiques Classe concernée Seconde Lycée Polyvalent Mas de Tesse Montpellier Tuteur du mémoire Freddy Bonafé Assesseur Sylvie Pellequer Année universitaire - CRésumé L ? apprentissage de la démonstration est encore en cours en Seconde et l ? utilisation des quanti ?cateurs si elle n ? est pas formalisée n ? en est pas moins nécessaire Ce travail porte sur les quanti ?cateurs l ? implication et la preuve de la véracité ou de l ? incorrection d ? une a ?rmation comportant ces connecteurs logiques Abstract In Tenth grade pupils are still learning how to prove a formal course about logic can ? t be done at this stage but quanti ?ers are used and too often implicit This work deals with quanti ?ers implication and proof of the truth or wrongness of an a ?rmation using these logical connectors Mots-clés preuve démonstration exemple contre-exemple reformulation quanti ?cateur implication CI Introduction Tout est parti d ? une question d ? élève Est-ce que pour la question des exemples ça su ?t ? La question en l ? occurrence demandait de démontrer que le carré d ? un nombre pair est pair Après tout si un contre- exemple su ?t pour montrer que c ? est faux ? pourquoi un exemple ne su ?rait-il pas pour montrer que c ? est vrai ? Cet élève m ? a d ? ailleurs rendu l ? exercice en exhibant les exemples de et Pour convaincre cet élève et il n ? était pas le seul il fallait d ? abord savoir s ? il est convaincu que deux ou trois exemples su ?sent ou si sa preuve ? est située plus loin dans la typologie des preuves de Balache ? exemple générique expérience cruciale auquel cas il faut encore le faire évoluer vers une preuve plus intellectuelle Bien que les quanti ?cateurs ne soient pas au programme de Seconde il est explicitement demandé dans les documents d ? accompagnement de souligner l ? universalité de certains énoncés ? et se rendre compte qu ? un contre-exemple su ?t pour nier un énoncé universel que des exemples ne su ?sent pas pour prouver la véracité si l ? ensemble considéré est in ?ni En ?n les théorèmes énoncés en classe étant donnés soit sous forme d ? énoncé universel soit sous forme d ? implication le travail sur la contraposée permet de revenir sur le contre-exemple comme négation d ? une implication Nous ferons tout d ? abord le point sur certaines notions théoriques pour commencer le statut des énoncés en classe de mathématiques beaucoup d ? implicites qui perturbent les élèves puis la typologie des preuves de Balache ? Ensuite nous nous intéresserons aux deux expériences qui m ? ont permis de mettre le travail en place une narration de recherche qui met en évidence la di ?érence entre situation de