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Ds1 2sm 2019 20203 converti

ème année Sciences Mathématiques Lycée Ibn Abdoun ?? Khouribga Devoir surveillé n Durée h - Mr EL ABBASSI Med NB Il sera tenu compte de la qualité de la rédaction de la rigueur et de la représentation des copies pt pt pt pt pt pt pt pt pt pt pt pt pts pt pt pts pts pts Exercice pts Partie Considérons la fonction g dé ?nie sur R par g x Arc tan x x x a- Calculer les limites suivantes lim g x et lim g x x ? ?? x ? b- Montrer que g est dérivable en et donner la valeur de g Montrer que g est une bijection de R vers un intervalle J qu ? on doit déterminer Donner le signe de g x pour tout x ? R Partie Considérons la fonction f dé ?nie sur R par f x x ?? Arc tan x x a- Calculer les limites suivantes lim f x et lim f x x ? ?? x ? b- Montrer que ? x ? R f x xg x c- Déduire le signe de f x pour tout x ? R d- Donner le tableau de variation de f e- Etudier le signe de f x ?? x pour tout x ? R Partie Considérons la suite un dé ?nie par u a et un f un avec a ? ? ?? Montrer que ? n ? N ??un ?? Etudier la monotonie de un puis déduire qu ? elle est convergente Déterminer la valeur de lim n ? un Exercice pts Pour tout n ? N ?? considérons la fonction fn dé ?nie sur ?? ? par fn x xn ?? Arc tan x a Montrer que ? n ? N ?? ? xn ? ? ?? fn xn b Montrer que x ? Considérons la suite xn n ? dé ?nie tel que pour tout n ? N ?? le terme xn désigne l ? unique solution de l ? équation fn x dans l ? intervalle ? ?? a- Etudier la monotonie de xn n ? puis déduire qu ? elle est convergente b- Montrer que la suite xnn est strictement décroissante puis déduire qu ? elle est convergente n ? c- Montrer que ? n ? N ?? ?? ? ?? xnn ?? d-Admettant que lim n ? xnn ?? ? déduire que lim n ? xn Exercice pts n ? Soit sn une n ? suite dé ?nie par sn ?? k uk avec un n ? est une suite décroissante convergeant vers k Montrer que les deux suites extraites vn et n ? wn n ? tels que vn s n et wn s n sont adjacentes puis déduire que la suite sn est n ? convergente ? Déduire que la suite sn n ? dé ?nie par sn n k ?? k k est convergente C