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Corrige serie 1 mathematique

PHEC Correction devoir - Exercice Edhec Le numérateur et le dénominateur sont continus sur R et le quotient ne s ? annule pas sur R donc f est continue sur R En lim x ln x x et lim x x donc f x x f donc f est continue en Par suite f est continue sur R Nous e ectuons l ? étude du signe sur R donc le signe de f est l ? opposé celui de ln ce qui nous donne f sur et f sur Rx La fonction f est continue sur R donc la donc x f t dt est dé ? nie continue et C sur R a La fonction g est dérivable puisqu ? il s ? agit de la di érence de deux fonctions dérivables cf g x f x donc si x on a g x x ln x x x ln x x x ln x x x x x xh x x b h x x x x x x Les racines du p tableau de variation x x trinôme x x sont x La seule x x h x qui est utile pour notre fonction h est x Il est immédiat que h sur x et h sur h x x la fonction h est dé ? nie sur R d ? o? le z h x c Le tableau de variation précédent montre que h est positive sur R donc g x xh x x est négative sur R La fonction g est strictement décroissante sur R et g donc g est négative sur R a La dérivée de F est f qui est positive sur donc F est croissante sur ainsi F F F avec F et F car g F cf c donc l ? intervalle est stable par F On introduit l ? hyposède de récurrence Hn un existe et appartient à Initialisation H est vraie car u Hérédité supposons que Hn est vraie un donc F un existe DF R et appartient à stabilité de par F donc un existe et appartient à ce qui implique que Hn est vraie donc n N un b La question c montre que x F x x Pour tout entier n un donc F un un un donc la suite u est décroissante c La suite u est décroissante minorée par donc elle converge vers une limite L telle que L et F L L g L Nous avons vu dans la question c que la fonction g est strictement décroissante sur R et g donc l ? équation g x n ? admet que comme solution ce qui implique que L Exercice EML x x a Comme dans x l ? exercice on montre que f est continue sur R En on a ex donc x x f x ex x f ce qui montre que f est continue en et par conséquent sur R b x x et x ex sont de classe C