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Corrige 1 1 Cours d ? Alge bre I Prof E Bayer Fluckiger Bachelor Semestre septembre Corrig ?e de la s ?erie Sauf indication contraire nous adoptons la notation multiplicative pour la loi de composition interne des groupes ?etudi ?es Exercice Groupes premi

Cours d ? Alge bre I Prof E Bayer Fluckiger Bachelor Semestre septembre Corrig ?e de la s ?erie Sauf indication contraire nous adoptons la notation multiplicative pour la loi de composition interne des groupes ?etudi ?es Exercice Groupes premiers exemples Parmi les couples suivants lesquels sont des groupes N Z R N ? R R ? Solution Il s ? agit de v ?eri ?er les axiomes de la d ?e ?nition d ? un groupe ? L ? addition n ? a pas d ? ?el ?ement neutre dans N Le couple N n ? est donc pas un groupe ? Par ailleurs n ? a pas d ? inverse dans N Le couple N ? n ? est donc pas un groupe ? L ? addition usuelle est associative Elle admet pour ?el ?ement neutre Par ailleurs l ? oppos ?e d ? un ?el ?ement de respectivement Z R est un ?el ?ement de respectivement Z R Les couples Z et R sont des groupes ? De m eme la multiplication usuelle est associative et admet pour ?el ?ement neutre L ? inverse d ? un ?el ?ement de R ?etant un ?el ?ement de R le couple R ? est un groupe ? Par d ?e ?nition la loi d ? addition d ? un espace vectoriel V muni cet espace vectoriel V d ? une structure de groupe V L ? exercice demande de montrer cette a ?rmation directement dans le cas ou V R L ? associativit ?e de l ? addition dans R se d ?eduit de l ? associativit ?e de l ? addition usuelle dans R pour tout x y x y x y ?? R nous avons x y x y x y x x y y x y x x x y y y x x x y y y x y x x y y x y x y x y C Par ailleurs l ? addition dans R admet comme ?el ?ement neutre et tout x y ?? R admet ??x ??y comme oppos ?e relativement a la loi de composition interne Ainsi R est bien un groupe Exercice Groupe sym ?etrique d ? un ensemble Soit E un ensemble Montrer que l ? ensemble S E des bijections de E muni de la composition des fonctions est un groupe Solution Soient f g h ?? S E Soit x ?? E Par d ?e ?nition de nous avons f g h x f g h x f g h x f g h x f g h x Nous avons donc f g h f g h La loi de composition interne est bien associative Par ailleurs pour tout f ?? S E et tout x ?? E nous avons f Id x f Id x f x Id f x Id f x Ainsi la fonction identit ?e Id est ?el ?ement neutre pour En ?n pour tout f ?? S E l ?