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Controle continu final automne 2007 math i algebre session 2 pdf

Universit ?e Claude Bernard Lyon Licence ??Sciences et technologie ? Unit ?e d ? enseignement ??Math ?ematiques I Algebre ? groupe Examen terminal deuxieme session vendredi janvier - Dur ?ee heure et minutes Les exercices ci-dessous sont ind ?ependants et peuvent etre trait ?es dans l ? ordre de votre choix L ? utilisation de documents de toute nature et de calculettes n ? est pas autoris ?ee Le sujet est imprim ?e sur une seule page Exercice On considere le groupe multiplicatif Z Z ? ? Rappeler le th ?eoreme qui permet d ? a ?rmer que Z Z ? ? est bien un groupe Quel est l ? inverse de la classe de dans Z Z ? Montrer que pour tout ?el ?ement x de Z Z ? on a x x ?? oux ?? d ?esigne l ? inverse de x En d ?eduire l ? ensemble des solutions dans Z Z de l ? ?equation x Exercice Montrer que les entiers et sont premiers entre eux R ?esoudre dans Z l ? ?equation x y Donner une solution de l ? ?equation x y R ?esoudre dans Z l ? ?equation x y Exercice Dans R on considere les ensembles E x y z ?? R x y ?? z et E x y z ?? R x ?? y ?? z Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R On admettra sans en dire davantage que E est ?egalement un sous-espace vectoriel de R a Fournir un vecteur de R qui n ? est pas ?el ?ement de E b Justi ?er pourquoi la famille ?? est une famille libre form ?ee de vecteurs de E c D ?eduire des deux questions qui pr ?ec edent la dimension de E puis que la famille ?? est une base de ce sous-espace D ?eterminer une base de E ?? E D ?eterminer le sous-espace E E ?? E Expliciter un sous-espace F ? R de dimension et tel que F E R C