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Td6 processus corrige Processus aléatoires ENS Paris - Thomas Budzinski Bureau V thomas budzinski ens fr TD Conditionnement martingales théorème d ? arrêt Corrigé Mercredi Octobre Espérance conditionnelle dans L Exercice On se donne deux variables aléatoi

Processus aléatoires ENS Paris - Thomas Budzinski Bureau V thomas budzinski ens fr TD Conditionnement martingales théorème d ? arrêt Corrigé Mercredi Octobre Espérance conditionnelle dans L Exercice On se donne deux variables aléatoires réelles positives X et Y et on suppose que E X Y Y et E Y X X Montrer que si X et Y sont dans L alors X Y p s On se place maintenant dans le cas général En étudiant des quantités de la forme E Y X ? a montrer que X Y p s Solution de l ? exercice On calcule E X ?? Y E X E Y ?? E XY Or E XY E XE Y X E X et de même E XY E Y donc E X ?? Y et X Y p s On peut aussi le voir autrement en utilisant l ? interprétation de l ? espérance conditionnelle dans L il existe deux projections orthogonales p et q telles que p X Y et q Y X donc X q Y ? Y et de même dans l ? autre sens On a donc égalité donc Y ?? Im q donc X q Y Y Soit a ? L ? égalité E X X ? a E Y X ? a est une conséquence immédiate de la dé ?nition de l ? espérance conditionnelle Notons que le membre de gauche est ?ni donc le membre de droite l ? est aussi L ? égalité se réécrit E X ?? Y X ? a o? la variable X ?? Y X ? a est intégrable car c ? est la di ?érence de deux variables intégrables De manière symétrique on obtient E X ?? Y Y ? a donc en faisant la di ?érence des deux E X ?? Y Y ? a ?? X ? a Or si Y ? a ?? X ? a alors Y ? a X et si Y ? a ?? X ? a alors Y a ? Y La variable X ?? Y Y ? a ?? X ? a est donc positive Comme elle est d ? espérance nulle elle est nulle p s On en déduit Y ? a X ? a p s CPresque sûrement ceci est vrai pour tout a rationnel positif donc presque sûrement il n ? existe pas de a rationnel tel que X ? a Y d ? o? X ? Y p s On a de même l ? inégalité inverse d ? o? X Y p s Exercice Convergence L des martingales rétrogrades Soit Fn n ? une suite décroissante de sous- tribus de F avec F F Soit X une variable aléatoire de carré intégrable Montrer que les variables E X Fn ?? E X Fn sont orthogonales dans L et que la série E X Fn ?? E X Fn n ? converge dans L Montrer que si F ? n ? Fn on a lim n ? ?