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er chapitre analyz numerik 1

RÉSOLUTION NUMÉRIQUE DE L ? ÉQUATION f x CHOKRI BEKKEY ET ZOUHAIER HELALI Ce document destiné à des étudiants de licence explique quelques méthodes permettant de trouver numériquement les zéros de fonctions d ? une variable réelle TABLE DES MATIÈRES Introduction Préambule Exemple motivant équation d ? état d ? un gaz Rappels d ? analyse Critère d ? arrêt pour la résolution numérique de f x Méthode de dichotomie Principe Etude de la convergence Test d ? arrêt Méthode de point ?xe Principe Point attractif Point répulsif Point douteux Ordre de convergence Test d ? arrêt Méthode de Newton Principe et convergence Illustration graphique Méthode de Newton modi ?ée Théorème de convergence globale Test d ? arrêt Méthode de Lagrange Principe Interprétation géométrique Convergence Bibliographie Exercices Index INTRODUCTION Préambule L ? étude générale des fonctions à variables réelles nécessite de temps à autre la résolution d ? équations de type f x Autrement dit nous sommes amenés à trouver les zéros de Ce travail a été réalisé à l ? occasion d ? un projet Tempus action JEP- - impliquant d ? une part l ? université Paris-Sud l ? université de Lille USTL et l ? université de Delft TU Delft et d ? autre part l ? université de Monastir ISM et FSM et l ? université de Sousse ISITC C CHOKRI BEKKEY ET ZOUHAIER HELALI fonctions non linéaires c ? est-à-dire les valeurs réelles telles que f ou ce qui est équivalent à résoudre une équation de type g x x Exemple motivant équation d ? état d ? un gaz On veut déterminer le volume V occupé par un gaz de température T et de pression p L ? équation d ? état c ? est-à-dire l ? équation qui lie p V et T est N p a V ?? Nb kNT V o? a et b sont deux coef ?cients dépendants de la nature du gaz N le nombre de molécules contenues dans le volume V et k la constante de Boltzmann Il faut donc résoudre une équation non linéaire d ? inconnue V Ceci revient à trouver les zéros de la fonction N f V p a V ?? Nb ?? kNT V Dans le cas le plus général il s ? agit de résoudre une équation non linéaire dont on n ? est pas capable de trouver une solution exacte Dans ce cas on dispose de quelques méthodes numériques exécutables sur des logiciels comme Matlab Maple Scilab pour approximer la solution exacte Ces méthodes numériques sont toutes basées sur la construction d ? une suite xn n ??N convergeant vers un réel véri ?ant f Dans ce document nous allons traiter quatre méthodes la méthode de dichotomie de point ?xe de Newton et de Lagrange Pour le faire nous avons besoin de quelques rappels d ? analyse Rappels d ? analyse Une équation de type f x peut être écrite d ? une manière équivalente sous la forme de g x