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Exercice corrige 1 Exercices Exercice I Soient variables centrées et normées y y et y observées fois p ? et n ? La matrice des covariances est alors celle des corrélations Soit ?? ? ?? ?? Calculer les valeurs propres de ?? Calculer les vecteurs propres no

Exercices Exercice I Soient variables centrées et normées y y et y observées fois p ? et n ? La matrice des covariances est alors celle des corrélations Soit ?? ? ?? ?? Calculer les valeurs propres de ?? Calculer les vecteurs propres normés U U et U Exprimer les composantes principales z z et z en fonction des variables initiales y y et y Exprimer les variables initiales y y et y en fonction des composantes principales z z et z Dans l ? espace de dimension les n observations sont représentées par un nuage de n points a Ecrire l ? équation du meilleur plan ajustant ce nuage de points b Ecrire l ? équation de la meilleure droite ajustant ce nuage de points Quel est le meilleur ajustement parmi a et b ie plan ou droite A un instant donné on a y ? y ? mais y manque Donner une estimation de y Correction de l ? exercice I Calcul des valeurs propres de ?? ?? ? ?? det ?? ?? ? I ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? soit ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? donc ? ?? ?? ? ainsi ? ? ? ? et ? ? Calcul des vecteurs propres U de coordonnées a a et a ?? a a a ? ? a avec a ? a ? a ? ?? a a après résolution du système pour chaque ? on prendra les vecteurs normés on divisera par la norme On obtient CU ? ?? U ? U ? ?? Calcul des composantes principales z z et z en fonction des variables initiales y y et y On déduit de que la matrice de changement de base est U ? ?? ?? ce qui donne Z en fonction de Y z ? y ? y ?? y z ? y ? y z ? y ?? y ? y Calcul des variables initiales y y et y en fonction des composantes principales z z et z y ? z ? z y ? z ? z ?? z y ? ?? z ? z ? z Dans l ? espace de dimension les n n ? observations sont représentées par un nuage de n points a Le meilleur plan d ? ajustement est ? O u u ? d ? équation z ? donc y ?? y ? y ? b La meilleur droite d ? ajustement est ? O u ? d ? équation z ? z ? donc y ?? y ? y ? y ? y ? Quel est le meilleur ajustement parmi a et b ie plan ou droite La qualité del ? ajustement dans a est Q ? ? ? ? ?? on a donc un très bon ajustement puisqu ? on n ? a que de la variancve