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Devoir de controle n02 math bac math 2010 2011 mr boubaker tabbabi

L S C J Gafsa Prof B Tabbabi Date Février DEVOIR DE CONTROLE N Classe è Math Durée heures Exercice points Répondre par vrai ou faux aucune justi ?cation n'est demandée ?? dt ? t ? b ?? Si f est une fonction continue et positive sur IR alors pour tous réels a et b f t dt est positive a Toute similitude admet un unique point ?xe Exercice points ?? ?? ?? Soit n un entier naturel non nul On pose In ? ?? x n dx Véri ?er que I ? et que I ? ?? ?? ?? Véri ?er que I n ?? I n ? ? x ??x n dx a Au moyen d'une intégration par parties montrer que I n ? ? n n ? ? I n b Montrer alors par récurrence que pour tout n de IN on a In ? n n ? ?? ?? ?? ?? On considère les deux fonctions dé ?nies sur IR par F x ? sinx ??t n dt et G x ? x cos n ? t dt a Montrer que F et g sont dérivables sur IR et déterminer F ' x et G ' x b En déduire que pour tout x de IR on a F x G x ? ?? c En déduire que I n ? cos n ? t dt Exercice points Soit ABC un triangle rectangle en B de sens direct tel que AB et BC Soit f la similitude directe qui envoie A sur B et B sur C a Déterminer l'angle et le rapport de f b Soit H le projeté orthogonal de B sur AC Montrer que H est le centre de f Soit D f C Montrer que D appartient à la droite BH puis construire D Soit g la similitude indirecte qui envoie A sur B et B sur C On désigne par ? le centre de g a Montrer que f ? g ?? ? S BC b Soit E g C Déterminer S BC E Construire alors E c Préciser la nature de g ? g Montrer que ? appartient à AC et à BE d Construire alors ? et l'axe ? de g Exercice points On considère la fonction f dé ?nie sur ?? ? ?? ? ? ?? ?? par f x ? sin x ? sin x Véri ?er que pour tout x de ?? ?? ? ? ? ?? ?? on a f ' x ? cos x ?? ? sin x ?? Montrer alors que f realise une bijection de ?? ? ?? ? ? ?? ?? sur un intervalle J que l'on précisera On note f ?? la function réciproque de f Calculer f ?? ? ? ?? ?? ? ? et f ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? Montrer que f ?? est derivable sur ?? ? ?? ?? ? ?? et que f ?? ' x ? ?? x ??