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Cours fonctions de deux variables

Christophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI FONCTIONS DE DEUX VARIABLES Dans tout ce chapitre et sont munis de leur structure euclidienne canonique On identi ?era au plan d ? équation z de ce qui revient à F BE identi ?er tout couple x y de au triplet x y de On notera ? ? la F BE base canonique de et ? ? k ? celle de et en ?n O le point ou GRAPHE D ? UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES Nous avons l ? habitude de représenter toute fonction f ?? ? comme une courbe dans le plan précisément la courbe d ? équation y f x Une fonction f ?? ? sera quant à elle représentée comme la surface d ? équation z f x y Intéressons-nous par exemple à la fonction x y ?? ?f x sin y Pour construire son graphe on étudie souvent son intersection avec une collection de plans parallèles qui balaient l ? espace tout entier Ainsi pour tout ? ?? ?? l ? intersection de et du plan d ? équation x ? est la courbe d ? équation z ? sin y dans ce plan ?? l ? intersection de et du plan d ? équation y ? est la courbe d ? équation z x sin ? dans ce plan ?? l ? intersection de et du plan d ? équation z ? est la courbe d ? équation x sin y ? dans ce plan et on l ? appelle la ligne de niveau ? de f Intersection de avec x ?? Intersection de avec y ?? ?? ?? ?? y x ?? ?? ?? ?? y x Intersection de avec z ?? ?? ?? ?? y x Faites l ? e ?ort de ré échir en les mêmes termes aux exemples qui suivent et assurez-vous que vous les comprenez bien CChristophe Bertault ?? Mathématiques en MPSI z x y z x y ?? y ?? x ?? y z sin x sin y ?? x z x ?? y ?? ?? y z sin x ?? x ?? ?? y ?? ?? z x y x ?? y ?? x ?? ?? y x RUDIMENTS DE TOPOLOGIE DANS On introduit brièvement dans ce paragraphe et sans s ? apesantir sur les preuves quelques notions topologiques simples dont nous aurons besoin ensuite VOISINAGES ET OUVERTS Pour tous A ?? et r on appelle ?? boule ouverte de centre A et de rayon r l ? ensemble B A r M ?? AM r B A r r A B A r r A ?? boule fermée de centre A et de rayon r l ? ensemble B A r M ?? AM r Dans le plan on gagnerait bien sûr à parler de disques et de cercles mais la théorie développée dans ce chapitre s ? étend sans dif ?culté majeure à n pour tout n alors autant parler tout de suite de boules et de sphères La