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Antoine chambert loir algebre lecture notes 2015

ALGÈBRE Antoine Chambert-Loir CAntoine Chambert-Loir Université Paris-Diderot E-mail Antoine Chambert- Loir math univ-paris-diderot fr Version du décembre h La version la plus récente de ce texte devrait être accessible en ligne à l ? adresse http webusers imj-prg fr antoine chambert-loir enseignement - algebre algebre pdf ? Antoine Chambert-Loir CTABLE DES MATIÈRES Structures algébriques ?? aperçu Ensembles relations applications Magmas Structures algébriques Catégories Exercices Groupes Dé nitions Exemples Sous-groupes Morphismes Produit d ? une famille de groupes Opérations d ? un groupe dans un ensemble Sous-groupes distingués et groupes quotients Groupes et mono? des libres coproduits Groupes abéliens Le groupe des permutations Sn éorèmes de Sylow Exercices Anneaux Dé nitions Sous-anneaux sous-corps Morphismes Exemples Algèbres de mono? des de groupes Civ TABLE DES MATIÈRES Idéaux anneaux quotients Anneaux de fractions Polynômes Idéaux premiers idéaux maximaux Le théorème des zéros de Hilbert Anneaux euclidiens principaux factoriels Exercices Corps Extensions de corps Extensions de rupture extensions de décomposition Clôture algébrique Corps nis éorie de Galois Exercices Bibliographie Index CCHAPITRE STRUCTURES ALGÉBRIQUES ?? APERÇU Ce premier chapitre vise à donner un aperçu rapide des diverses structures algébriques que nous allons étudier dans ce cours et aussi d ? autres qui n ? y joueront qu ? un rôle d ? illustration Les chapitres suivant les reprendront avec plus de détail Ensembles relations applications Ensembles ?? La présentation formelle des mathématiques repose sur les notions d ? ensembles de relations et d ? applications dont je supposerai une compréhension intuitive Relations ?? Soit n un entier naturel et soit A An des ensembles Une relation n- aire sur les ensembles A An est une partie de A ? ? An si R est cette relation et si a an sont des éléments de A An respectivement on écrit R a an pour exprimer que le n-uplet a an est un élément de R Surtout pour les relations binaires n la pratique a suggéré une notation plus concise in xe ? consistant à écrire a b pour écrire que le couple a b est un élément de la relation correspondant au symbole L ? ensemble des couples a b tels que a b c ? est-à-dire l ? ensemble des éléments de cette relation est alors appelé le graphe de la relation Par exemple la relation d ? égalité symbole dans un ensemble A a pour graphe la diagonale du produit A ? A qui est l ? ensemble des couples a a pour a ?? A Applications ?? Les applications forment un exemple important de relations pour lesquelles on introduit une notation plus suggestive Soit A et B CCHAPITRE STRUCTURES ALGÉBRIQUES ?? APERÇU des ensembles Une application f de A dans B est une relation disons R sur ces ensembles A et B véri ant la propriété suivante pour tout a ?? A il existe un unique élément b ?? B tel que R a b On note f ? A ? B pour dire que f est une application de A dans B