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Exam procal dec15 Master de Math ?ematiques - Processus al ?eatoires Examen du d ?ecembre Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices sont autoris ?es Les t ?el ?ephones portables ordinateurs et

Master de Math ?ematiques - Processus al ?eatoires Examen du d ?ecembre Dur ?ee heures Il sera tenu compte de la qualit ?e de la r ?edaction Les documents et les calculatrices sont autoris ?es Les t ?el ?ephones portables ordinateurs et tablettes doivent etre ?eteints Les points sont donn ?es a titre indicatif Exercice points On consid ere la cha ne de Markov sur X de matrice de transition F EB F F F EC F F P F ECF EC F ECF EC F F F F F F F F F EC F F F ED F F Cette cha ne repr ?esente une version simpli ? ?ee de l ? algorithme Pagerank de Google Les ?etats a sont des pages web la probabilit ?e de transition pij est non nulle lorsqu ? il y a un lien pointant de la page i vers la page j et la ??racine ? est ajout ?ee arti ?ciellement Repr ?esenter le graphe de cette cha ne de Markov Calculer P X X et P X La cha ne est-elle irr ?eductible Est-elle r ?eguli ere Quel est le r ole du site Calculer la distribution stationnaire de la cha ne Exercice points On consid ere un processus de sauts markovien Xt sur X de g ?en ?erateur in- ?nit ?esimal F EB F F ?? F ED F F L ?? ?? Repr ?esenter le processus de sauts sous forme de graphe D ?eterminer la distribution stationnaire du processus Que vaut limt ? ? Pt Soit R L I ou I est la matrice identit ?e Montrer que Pt e ??t etR Calculer R et montrer que F EB F F F ED F F f t f t f t etR f t f t f t f t f t f t ou f t est la solution de l ? ?equation di ? ?erentielle f t f t f f f On ne demande pas de r ?esoudre cette ?equation C Exercice points Dans un service clients les appels t ?el ?ephoniques arrivent selon un processus de Poisson de taux appels par heure Quelle est la probabilit ?e qu ? il y ait moins de appels c ? est-a-dire ou appel durant la premiere heure Quelle est la probabilit ?e qu ? il y ait moins de appels durant les deux premieres heures sachant qu ? il y a eu appels durant la premiere heure Sachant qu ? il y a eu appels lors des premieres heures quelle est la probabilit ?e qu ? il y en ait eu lors de la premiere heure L ? employ ?e prend une pause apres avoir r ?epondua appels Quel est le temps moyen jusqu ? a sa premiere pause On n ?eglige la probabilit ?e qu ? un appel arrive alors qu ? il r ?epond a un autre client Probl eme points Le modele de Wright ??Fisher d ?ecrit l ? ?evolution d ? un gene dans