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Exam math appl 2021 2022 intra ctpea hors date

CENTRE DE TECHNIQUES DE PLANIFICATION ET D ? ECONOMIE APPLIQUEE CTPEA Examen Intra de Mathématiques Appliquées à l ? Economiehorsdate Niveau Troisième Année Economie-Plani ?cation Durée heures Titulaire Pierre Septimus Wilner Doctorant Nota Bene i - Les questions sont indépendantes et peuvent être traitées dans un ordre quelconque ii - Il sera tenu compte de la rédaction Exercice points Soit f la fonction dé ?nie sur Rn à valeurs dans R par ? n f x xi ??xi et U l ? ensemble i ? n U x Rn xi ? i ? n xi i o? x x ? xn - Déterminer sans calcul le minimum de la fonction f sur U - Montrer que f admet au moins un point de maximum global sur U - Soit x un tel point - Montrer que xi pour tout i - Montrer par la méthode de Lagrange qu ? il existe un réel ? tel que ? xi ?? ? f x xi f x i ? n - En déduire que tous les xi sont égaux en discutant suivant le signe éventuel de ? - Déterminer l ? unique point de maximum global de f sur U - En déduire i ? n ? ? ? n i n xi x j ??xi ? n ?? n j n n j xj n pour tous nombres xi ? pour Exercice points Etudier les éventuels extremums locaux et globaux de ? n ?? f Rn ? R x ? xn x i x n i CExercice points Une entreprise produit un bien en quantité Y dont le prix est p à l ? aide de deux inputs notés X et X dont les prix respectifs sont w et w Sa technologie est caractérisée par une fonction de production de la formeY X X ? o? et ? sont deux paramè tres positifs L ? entreprise fonctionne dans un environnement de marchés concurrentiels - Rappelez les conditions qu ? il faut imposer pour que le problème d ? optimum d ? utilisation des facteurs ait une solution Déterminez alors les demandes d ? inputs conditionnelles optimales pour le niveau de production Y Y LaGrange - Rappelez quelles conditions doivent être imposées pour que le problème de l ? optimum de production ait une solution Déterminez alors la fonction d ? o ?re de la ?rme et les demandes inconditionnelles d ? input Exercice points On considère deux types de biens X Y vendus respectivement aux prix p q et pour lesquels la demande est donnée respectivement par DX f p q q p et DY g p q p q - On ?xe q Quelle doit ê tre la variation relative de p pour que la demande en X augmente de Quelle est alors la variation relative de la demande en Y - Déterminer la variation relative des demandes en X et Y si p augmente de et q augmente de - On considère que les biens X et Y sont