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Ds6 cb sujet ECS DS no Concours Blanc mai h Les calculatrices sont interdites La qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte de manière importante dans l'appréciation des copies C Exercice Soit n un entier n

ECS DS no Concours Blanc mai h Les calculatrices sont interdites La qualité de la rédaction la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte de manière importante dans l'appréciation des copies C Exercice Soit n un entier naturel non nul Soit fn la fonction dé nie sur R par ??x ?? R fn x ?? x ?? xn Montrer que l'équation fn x d'inconnue x possède une seule solution notée un C a Véri er que un appartient à b En déduire le signe de fn un puis établir que la suite un est croissante c Conclure que la suite un converge et que sa limite appartient à d Montrer par l'absurde que lim un n ? ? Pour tout entier naturel n non nul on pose vn ?? un C a Justi er que vn est strictement positif puis montrer que ln vn ?? ??nvn b Établir que lim ln ?? ln vn nvn n ? ? ?? ln vn et en déduire que ln vn ?? ?? ln n c Montrer C en n que vn ?? ln n n Donner la nature des séries de termes généraux vn et vn E Exercice Soit E R X l'espace vectoriel des polynômes à coe cients réels de degré inférieur ou égal à C Soit f l'application dé nie sur E qui associe à tout polynôme P ?? E le C polynôme f P dé ni par f P X ?? XP X X P X o? P est la dérivée du polynôme P a Rappeler la base canonique de E et en déduire dim E b Montrer que f est un endomorphisme de E c Déterminer la matrice M de f dans a base canonique de E d La matrice M est-elle inversible Calculer M n pour tout n ?? N ? e Déterminer une base de Ker f f Déterminer une base de Im f On note idE l'endomorphisme identité de E et E l'endomorphisme nul Pour tout endomorphisme v de E on pose v idE et pour tout k ?? N ? vk v vk ?? Soit u un endomorphisme de E tel que u E et u E On pose g idE u u u a Soit P un polynôme de E tel que P ?? Ker u Montrer que la famille P u P u P u P est une base de E b Déterminer la matrice de l'endomorphisme g dans cette base c Montrer que g est un automorphisme de E Déterminer sa réciproque g ?? en fonction de u d Établir l'égalité Ker g ?? idE Ker u e Montrer que pour tout ? Ker g ?? ?idE CECS DS no Concours Blanc Page sur mai h Exercice ? Pour tout x et y réels strictement positifs on pose B x y tx ?? ??t y ?? dt et ? x tx ?? e ??tdt C Prouver la convergence des intégrales dé nissant B x y et ? x Prouver