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Cours processus stochastiques enicar

Ecole Nationale d ? Ingénieurs de Carthage Département Informatique Niveau Première Année Mastère de Recherche RMM Processus Stochastiques Préparé par Iyed BEN SLIMEN Année universitaire Plan du cours Chapitre Rappels sur la théorie des probabilités Chapitre Notions de base des processus stochastiques Chapitre Exemples de P S Gaussiens et de Poisson Chapitre Chaines de Markov Processus Stochastiques ENICAR Page CChapitre Rappels sur la théorie des probabilités Variables aléatoires Dans l ? étude des phénomènes physiques il existe des situations qui peuvent être répétées un grand nombre de fois dans des conditions identiques et qui donnent à chaque expérience un résultat di ?érent impossible à prévoir avec certitude Ces phénomènes sont appelés aléatoires L ? ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience est appelé espace échantillon noté S Un sous-ensemble de S est un évènement Une variable aléatoire v a est une fonction X qui associe un nombre réel X s à chaque s S On désigne SX l ? ensemble des valeurs possibles de S Exemple lancement d ? un pièce de monnaie S P F X peut être une fonction de valorisation directe de pile comme et face comme SX Exemple lancement d ? un dé à faces On peut avoir X telle que SX Exemple prendre au hasard un nombre dans On peut prendre dans ce cas la v a X qui est simplement le nombre obtenu fonction identité SX On peut dé ?nir une autre v a Y sur le même espace F F F F F F Y si le nombre obtenu F F F F sin on SY Une variable aléatoire X est dite discrète si l ? ensemble SX est dénombrable ?ni ou in ?ni On note SX xi o? xi désigne l ? élément numéro i ? de l ? ensemble SX On appelle loi de X la probabilité PX dé ?nie sur SX par la formule pX xi P X xi ??xi ?? SX Propriétés ? pX xi ? Exemples ? pX xi xi ??S X Loi de Bernoulli B p SX pX x p x ?? p ??x Loi Binomiale B n p SX n pX x F EBF EDF ECF EC n x F F F F F F F F px ?? p n ??x Loi équipartie ou équiprobable SX n pX x n Loi de Poisson Poi ? SX IN pX x e ?? ? ?x x avec ? La fonction de répartition d ? une v a X est dé ?nie par FX x P X ? x ??x ?? IR Propriétés ? FX x ? lim x ? ?? ? FX x et lim x ? ? FX x FX est croissante P a X ? b FX b ?? FX a Processus Stochastiques ENICAR Page CQuestion Déterminer la fonction de répatition de la v a X suivant la loi équipartie et tracer sa courbe représentative Une variable aléatoire X est dite continue si l ? ensemble SX est in ?ni non dénombrable et