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Cours 1es loi binomiale Loi Binomiale Première I Loi de Bernoulli et loi binomiale I Loi de Bernoulli Soit une expérience aléatoire présentant deux issues ? l ? une S succès ? de probabilité p ? l ? autre S échec ? de probabilité ?? p Dé ?nition Loi de Be

Loi Binomiale Première I Loi de Bernoulli et loi binomiale I Loi de Bernoulli Soit une expérience aléatoire présentant deux issues ? l ? une S succès ? de probabilité p ? l ? autre S échec ? de probabilité ?? p Dé ?nition Loi de Bernoulli ? La variable aléatoire qui prend la valeur en cas de succès et en cas d ? échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli ? La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelé loi de Bernoulli de paramètre p xi p X xi ?? p p Remarque cette loi porte le nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli - Propriété Si la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètres p alors son espérance est E X p Preuve E X ? ?? p ? p p I Schéma de Bernoulli et loi binomiale Dé ?nition Loi de Binomiale ? L ? expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s ? appelle un schéma de Bernoulli de paramètre n et p ? La loi de probabilité de la variable X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p ? La loi loi binomiale de paramètres n et p se note B n p Remarque L ? indépendance est assurée dans le cas de tirages successifs et avec remise que l ? on appelle tirages non exhaustifs CPremière Loi Binomiale II Un exemple de loi Binomiale Exemple Point Bac La cha? ne de production d ? une usine fabrique pièces par jour La probabilité pour qu ? une pièce soit jugée sans défaut est On extrait de cette production un échantillon de taille Le nombre de pièce de la production est suf ?samment grand pour que l ? on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise ? On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de pièces sans défaut dans cet échantillon Montrer que X suit une loi binomiale déterminer les paramètres et calculer P X ? Modélisation Méthode Rédaction type Il y a répétition de n événements indépendants et identiques on tire une pièce Chaque tirage a deux issues possibles épreuve de Bernoulli ?? succès de probabilité p quand une pièce est sans défaut ?? et échec de probabilité ?? p sinon Donc la variable aléatoire X qui est égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves indépendantes de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres n et p X suit B ou X ?? B ? Calcul p S p S S p ??p S p S ??p S ??p S p S p S ??p S ??p S p S ??p S ??p S ?? La probabilité d ? avoir un succès et un seul sur les trois tirages est P X ?? Les issues formées d ? un succès sont SSS SSS SSS ?? On obtient alors