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Corrige evn Espaces vectoriels normés Géométrie Exercice Unicité du centre et du rayon d ? une boule Soit E un evn non nul et a a ?? E r r tels que B a r B a r Montrer que a a et r r Exercice x y z Soient x y z trois vecteurs d ? un evn E tels que

Espaces vectoriels normés Géométrie Exercice Unicité du centre et du rayon d ? une boule Soit E un evn non nul et a a ?? E r r tels que B a r B a r Montrer que a a et r r Exercice x y z Soient x y z trois vecteurs d ? un evn E tels que x y z Montrer que x ?? y y ?? z z ?? x x y z Exercice Médiatrice Dans R on considère les points O et A Pour chacune des trois normes classiques déterminer l ? ensemble des points X x y équidistants de O et A Exercice Une boule est convexe Soit E un evn a ?? E r On note B B a r et ?B ?B a r Montrer que B et ?B sont convexes Si la norme est euclidienne montrer que si u v ?? B avec u v alors u v ? ?B u v ?? t u tv tq t ?? En déduire que si la norme est euclidienne toute partie A telle que ?B ? A ? B est convexe Donner un contre-exemple avec une norme non euclidienne Exercice Distance à un ensemble Soit E un evn et A ? E une partie non vide Pour x ?? E on pose d x A inf x ?? a Montrer que ?? x y ?? E d x A ?? d y A x ?? y Montrer que l ? application x ? d x A est continue tq a ?? A Exercice Distance à un ensemble ENS Cachan MP Soit A une partie de Rn non vide On note pour x ?? Rn dA x inf x ?? y tq y ?? A Montrer que dA est continue Soient deux parties de Rn non vides A B Donner une condition équivalente à dA dB On note ? A B sup dA y ?? dB y y ?? Rn valant éventuellement ? Montrer que l ? on a ? A B max sup dB x sup dA x x ??A x ??B Exercice Distance entre un fermé et un compact Soient A B deux parties compactes non vides de Rn Montrer qu ? il existe a ?? A et b ?? B tels que a ?? b min x ?? y tq x ?? A y ?? B Montrer que ceci est encore vrai si on suppose A compact et B fermé Exercice Diamètre Soit E un evn de dimension ?nie et A ? E borné fermé non vide Montrer qu ? il existe a b ?? A tels que a ?? b max x ?? y tq x y ?? A considérer l ? ensemble A ? A dans l ? evn E ? E Exercice Diamètres concourants Ens Ulm MP ? Soit K un compact convexe de R d ? intérieur non vide Soit O ?? K ? Montrer qu ? il existe une fonction f R ? R continue ?-périodique