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Correction ts eval 8 15 TS Évaluation -Correction ? points Dans cet exercice on s ? intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants sans réservation ou avec réservation préalable Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d ?

TS Évaluation -Correction ? points Dans cet exercice on s ? intéresse au mode de fonctionnement de deux restaurants sans réservation ou avec réservation préalable Le premier restaurant fonctionne sans réservation mais le temps d ? attente pour obtenir une table est souvent un problème pour les clients On modélise ce temps d ? attente en minutes par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre ? o? ? est un réel strictement positif Une étude statistique a permis d ? observer que le temps moyen d ? attente pour obtenir une table est de minutes a Déterminer la valeur de ? Le temps moyen d ? attente est de minutes donc E X E X ? ?? ? ? b Quelle est la probabilité qu ? un client attende entre et minutes pour obtenir une table Arrondir à ?? La probabilité qu ? un client attende entre et minutes est P X Comme X suit la loi exponentielle de paramètre on sait que P X e ?? t dt ?? e ?? t ??e ?? e ?? c Un client attend depuis minutes Quelle est la probabilité qu ? il doive attendre au moins minutes de plus pour obtenir une table On arrondira à ?? Un client attend depuis minutes La probabilité qu ? il doive attendre au moins minutes de plus pour obtenir une table est la probabilité qu ? il attende au moins minutes sachant qu ? il a déjà attendu minutes c ? est-à-dire PX X On sait que la loi exponentielle est une loi à durée de vie sans vieillissement ? donc que pour tous réels strictement positifs h et t PX t X h t P X h On en déduit que PX X P X On sait que pour une loi exponentielle de paramètre ? P X a a ?e ?? ?t dt ?? e ?? ?t a ?? e ?? ?a donc P X ?? e ?? ? ?? e ?? P X ?? P X ?? ?? e ?? e ?? Le deuxième restaurant a une capacité d ? accueil de places et ne sert que des personnes ayant réservé au préalable La probabilité qu ? une personne ayant réservé se présente au restaurant est estimée à On note n le nombre de réservations prises par le restaurant et Y la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant réservé qui se présentent au restaurant On admet que les comportements des personnes ayant réservé sont indépendants les uns des autres a Quelle est la loi de la variable aléatoire Y Justi ?er la réponse et préciser en fonction de n son espérance mathématique E Y et son écart-type ? Y À la répétition n fois de façon indépendante d ? une épreuve à deux issues je peux associer la variable aléatoire Y qui comptabilise le nombre de succès ici il y a succès si une personne ayant réservé se présente au restaurant avec p Y suivant la loi