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Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales

c Christophe Bertault - MPSI Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales Dans tout ce chapitre on travaille uniquement avec le corps de base R et E est un espace euclidien orienté Les lettres n p q désignent des entiers naturels non nuls Automorphismes orthogonaux et matrices orthogonales en dimension quelconque Automorphismes orthogonaux Dé ?nition Automorphisme orthogonal isométrie vectorielle Soit f E ?? ? E une application Les assertions suivantes sont équivalentes i f préserve les produits scalaires ??x y ?? E f x f y x y ii f est linéaire et préserve les normes ??x y ?? E f x x De plus si l ? une de ces deux assertions est vraie f est un automorphisme de E On dit alors que f est un automorphisme orthogonal de E ou une isométrie vectorielle de E Explication ? L ? équivalence des assertions i et ii est conceptuellement puissante le seul fait qu ? une application non nécessairement linéaire a priori préserve les produits scalaires la rend automatiquement linéaire ? Une isométrie vectorielle comme son nom l ? indique est une transformation géométrique qui préserve iso- ? même identique les normes -métrie ? mesure Démonstration i ?? ii D ? abord f préserve les normes car pour tout x ?? E f x f x f x x x x Montrons ensuite que f est linéaire Notons n la dimension de E et e e en une base orthonormale de E Puisque f préserve les produits scalaires alors f ei f ej ei ej ?ij pour tous i j ?? n et donc f e f e f en est aussi une base orthonormale de E Du coup soit x ?? E On a alors n n f x f x f ek f ek x ek f ek Cette expression montre bien la linéarité de f le produit k k scalaire étant linéaire par rapport à chacune de ses variables ii ?? i Montrons que f préserve les produits scalaires Soient x y ?? E Utilisons les identités de polarisation notées ci-dessous f x f y ii f x f y ?? f x ?? f y x y ?? x ?? y x y liné arité f x y ?? Et voilà f x ?? f y Pour ?nir montrons que sous réserve que l ? une des assertions i ou ii est vraie f est un automorphisme de E Or nous avons prouvé avec la première implication que f e f e f en est une base de E Et voilà Exemple Toute symétrie orthogonale de E ?? en particulier tout ré exion de E ?? est un automorphisme orthogonal de E En e ?et Soit s une symétrie orthogonale de E Notons H Ker s ?? IdE Alors s est la symétrie par rapport à H parallèlement à H ? Soit x ?? E décomposé sous la forme x h h o? h ?? H et h ?? H ? Alors s h h ?? h