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Analysis methods for fractional brownian motion theory and comparative results

Méthodes d ? analyse du mouvement brownien fractionnaire théorie et résultats comparatifs Analysis methods for fractional brownian motion theory and comparative results par Rachid JENNANE Rachid HARBA Gérard JACQUET Laboratoire d ? Electronique Signaux Images EA et GDR ISIS du CNRS ESPEO Université d ? Orléans BP Orléans Cedex Tél Fax e-mail Rachid Jennane univ-orleans fr e-mail Rachid Harba univ-orleans fr Laboratoire Traitement du Signal et Instrumentation UMR et GDR ISIS du CNRS Université de Saint- Etienne rue Paul Michelon SaintEtienne Cedex Tél Fax e-mail Jacquet univ-st-etienne fr résumé et mots clés Cet article a pour objectif de comparer les performances des di ?érents estimateurs du paramètre H du mouvement brownien fractionnaire fBm sur des signaux théoriquement exacts synthétisés par la méthode de Cholesky Des ensembles de signaux de taille N à par puissance de sont générés pour des valeurs du paramètre H variant de à par pas de Les principales méthodes d ? estimation ont été regroupées en quatre classes les méthodes géométriques les méthodes temporelles les méthodes fréquentielles et en ?n les méthodes basées sur une décomposition multi-échelles Chaque technique a été évaluée en termes de biais et de variance cette dernière étant comparée à la borne de Cramer-Rao BCR Des tests statistiques montrent que seul l ? estimateur par maximum de vraisemblance EMV est e ?cace non biaisé et atteignant la BCR pour toutes les valeurs de H et de N testées Ce résultat expérimental complète les résultats théoriques d ? e ?cacité de l ? EMV démontrés par Dahlhaus uniquement dans le cas asymptotique D ? un point de vue pratique l ? implémentation de l ? EMV devient d ? un coût calculatoire important pour des signaux de grande longueur L ? approche de Whittle du maximum de vraisemblance dans le domaine fréquentiel permet de lever ces limitations cette technique étant asymptotiquement e ?cace En ?n des résultats montrent que l ? approche EMV permet de traiter le cas des signaux fBm pollués par un bruit Mouvement brownien fractionnaire fBm maximum de vraisemblance méthode de Whittle abstract and key words In this paper several analysis methods for fractional Brownian motion are studied using reference test signals generated by the Cholesky procedure Several sets of signals having sample size ranging from N to by power of are generated for H to by steps of Analysis techniques of the H parameter among the most well known in signal processing are studied They are grouped in four categories frequency based methods geometrical methods time methods and multi-resolution methods Quality of these estimators is assessed in terms of bias and variance The variance is compared to the Cramer-Rao lower bound CRLB Statistical tests show that only the maximum likelihood estimator MLE is e ?cient unbiased and reaches the CRLB for every H and N tested This experimental result about the e ?ciency of MLE extends that demonstrated by Dahlhaus only in the Traitement du Signal ?? Volume ?? n - CMéthodes d ? analyse du mouvement brownien fractionnaire asymptotical